[논문 리뷰] Submodular Function Maximization over Distributive and Integer Lattices

Corinna Gottschalk, Britta Peis|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 20.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 55인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 분배 격자와 정수 격자 위에서 하위모듈러 함수를 최대화하기 위한 근사 알고리즘을 제시하며, 정수 격자에서 비제약 하위모듈러 최대화 문제에 대해 결정적 1/3-근사 알고리즘과 분배 격자에서 DR-하위모듈러 최대화 문제에 대해 랜덤화된 1/2-근사 알고리즘을 도입한다. 또한, 타당한 복잡도 가정 하에 배낭 제약 조건이 있는 문제에 대해 2^{(log(n^{1/2}-1))^δ - 1}-근사가 존재하지 않음을 보여주는 강력한 근사 불가능성 경계를 수립한다.

ABSTRACT

The problem of maximizing non-negative submodular functions has been studied extensively in the last few years. However, most papers consider submodular set functions. Recently, several advances have been made for the more general case of submodular functions on the integer lattice. In this paper, we present a deterministic $\frac{1}{3}$-approximation for maximizing a submodular function on a bounded integer lattice $\{0, \ldots, C\}^n$ using a Double Greedy framework. Moreover, we show that the analysis is tight and that other ideas used for approximating set functions cannot easily be extended. In contrast to set functions, submodularity on the integer lattice does not imply the so-called diminishing returns property. Assuming this property, it was shown that many results for set functions can also be obtained for the integer lattice. In this paper, we consider a further generalization. Instead of the integer lattice, we consider a distributive lattice as the function domain and assume the diminishing returns (DR) property. On the one hand, we show that some approximation algorithms match the set functions setting. In particular, we can obtain a $\frac{1}{2}$-approximation for unconstrained maximization, a $(1-\frac{1}{e})$-approximation for monotone functions under a cardinality constraint and a $\frac{1}{2}$-approximation for a poset matroid constraint. On the other hand, for a knapsack constraint, the problem becomes significantly harder: even for monotone DR-submodular functions, we show that there is no $2^{(\log (n^{1/2} - 1))^δ- 1}$-approximation for every $δ> 0$ under the assumption that $3-SAT$ cannot be solved in time $2^{n^{3/4 + ε}}$.

연구 동기 및 목표

• 경계가 있는 정수 격자 위에서 비제약 하위모듈러 최대화 문제에 대해 효율적인 근사 알고리즘을 개발하며, 여기서 하위모듈러성은 감소 수익의 성질(DR 성질)을 함의하지 않는다.
• 집합 함수에서 DR-하위모듈러 함수로의 근사 알고리즘 확장을 분배 격자에서의 DR-하위모듈러 함수로 확장하며, 이는 집합 함수와 정수 격자 함수를 모두 일반화한다.
• 분배 격자에서의 배낭, 기수 제약 및 순서 집합 매트로이드 제약 조건 하에 제약 조건이 있는 하위모듈러 최대화 문제의 복잡도를 분석한다.
• 배낭 제약 조건 하에 단조 증가 DR-하위모듈러 최대화 문제에 대해 강력한 근사 불가능성 결과를 수립하며, 이는 밀도가 높은 k-부분그래프 문제의 난이도와 연결된다.
• 일반 하위모듈러 함수에서 DR 성질이 결여되어 있는 점으로 인해, 집합 함수에 대한 기존 기법이 정수 격자 설정으로 쉽게 확장되지 않음을 보여준다.

제안 방법

• Buchbinder 등 [6]의 비제약 하위모듈러 최대화 프레임워크를 정수 격자에 적응시켜, 반복적인 탐욕적 절차를 사용하여 1/3-근사 알고리즘을 달성한다.
• 순서 집합을 통한 분배 격자의 이상 표현을 활용하고, 변형 기반 샘플링을 적용하여 분배 격자에서의 DR-하위모듈러 최대화를 위한 랜덤화 알고리즘을 제안한다.
• 배낭 제약 조건이 있는 하위모듈러 최대화 문제의 근사 불가능성 경계를 증명하기 위해, 밀도가 높은 k-부분그래프 문제(DkSH)에서 분배 격자 위의 배낭 제약 조건이 있는 하위모듈러 최대화 문제로의 감소를 사용한다.
• Birkhoff의 정리를 활용하여 분배 격자를 순서 이상의 집합으로 표현함으로써, 구조화된 도메인 위에서 하위모듈러 함수를 구성할 수 있도록 한다.
• 감소 수익(DR) 성질을 핵심 가정으로 삼아, 집합 함수 설정에서와 유사한 알고리즘 보장을 회복하며, 이는 비제약 문제에 대해 1/2-근사, 기수 제약 조건이 있는 문제에 대해 (1-1/e)-근사와 같은 결과를 제공한다.
• 어려움 강화 사슬을 수립한다: 배낭 제약 조건이 있는 문제에 대한 α-근사가 DkSH에 대해 2α(n′(m′+1))-근사로 이어지며, 이는 3-SAT 가정 하에 근사가 어려운 것으로 알려져 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비제약 하위모듈러 최대화 문제에 대해 정수 격자에서 결정적 1/3-근사 알고리즘을 달성할 수 있으며, 이 경계가 최적인지 여쭙니다.
• RQ2 집합 함수에 대한 근사 알고리즘이 분배 격자에서의 DR-하위모듈러 함수로 얼마나 일반화될 수 있는가?
• RQ3 분배 격자에서의 배낭 제약 조건 하에 단조 증가 DR-하위모듈러 함수 최대화 문제의 복잡도는 어떠한가?
• RQ4 정수 격자에서 일반 하위모듈러 함수에서 감소 수익 성질이 결여되어 있을 경우, 근사 알고리즘 설계에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 밀도가 높은 k-부분그래프 문제의 난이도를 이용하여, 배낭 제약 조건 하에 하위모듈러 최대화 문제에 대해 강력한 근사 불가능성 경계를 설정할 수 있는가?

주요 결과

• 경계가 있는 정수 격자 위에서 비제약 하위모듈러 최대화 문제에 대해 결정적 1/3-근사 알고리즘을 제안하며, 분석이 최적임을 입증한다.
• 분배 격자에서의 DR-하위모듈러 함수에 대해 비제약 최대화 문제에 대해 랜덤화된 1/2-근사 알고리즘을 달성하였으며, 이는 집합 함수의 경우에 알려진 최고 수준의 경계와 일치한다.
• 기수 제약 조건 하에 단조 증가 DR-하위모듈러 최대화 문제에 대해 (1-1/e)-근사 알고리즘을 확보하였으며, 이는 집합 함수 설정과 유사하다.
• 분배 격자에서의 순서 집합 매트로이드 제약 조건에 대해 1/2-근사 알고리즘을 달성하였으며, 이는 집합 함수 설정에서의 결과를 확장한 것이다.
• 3-SAT이 시간 2^{n^{3/4+ε}} 내에 해결될 수 없다는 가정 하에, 배낭 제약 조건 하에 단조 증가 DR-하위모듈러 최대화 문제에 대해 2^{(log(n^{1/2}-1))^δ - 1}-근사가 존재하지 않으며, 이는 강력한 근사 불가능성 결과를 수립한다.
• 밀도가 높은 k-부분그래프 문제(DkSH)에서 배낭 제약 조건이 있는 하위모듈러 최대화 문제로의 감소는, 후자의 α-근사가 DkSH에 대해 2α(n′(m′+1))-근사로 이어지며, 이는 근사 불가능성 결과를 이끌어낸다.