[논문 리뷰] Submodular problems - approximations and algorithms

Dorit S. Hochbaum|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 10.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 21인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 부등식 제약 조건당 변수가 최대 두 개인 서브모odูล러 최소화 문제(SM2)가 다항 시간 내에 2-근사 가능하며, 이 근사 계수는 NP=P가 아닐 경우 최적이라는 것을 입증한다. 또한 단조성 조건(반대 부호 계수)이 존재하면 다항 시간 정확해결이 가능하고, 전체로 단조적(_totally unimodular, TU) 제약 조건은 NP-난이도를 유도함을 보여, 서브모듈러 최소화 문제에서 복잡도의 핵심적 차이를 드러낸다.

ABSTRACT

We show that any submodular minimization (SM) problem defined on a linear constraint set with constraints having up to two variables per inequality, are 2-approximable in polynomial time. If the constraints are monotone (the two variables appear with opposite sign coefficients) then the problems of submodular minimization or supermodular maximization are polynomial time solvable. The key idea is to link these problems to a submodular s,t-cut problem defined here. This framework includes the problems: SM-vertex cover; SM-2SAT; SM-min satisfiability; SM-edge deletion for clique, SM-node deletion for biclique and others. We also introduce here the submodular closure problem and and show that it is solvable in polynomial time and equivalent to the submodular cut problem. All the results are extendible to multi-sets where each element of a set may appear with a multiplicity greater than 1. For all these NP-hard problems 2-approximations are the best possible in the sense that a better approximation factor cannot be achieved in polynomial time unless NP=P. The mechanism creates a relaxed "monotone" problem, solved as a submodular closure problem, the solution to which is mapped to a half integral super-optimal solution to the original problem. That half-integral solution has the persistency property meaning that integer valued variables retain their value in an optimal solution. This permits to delete the integer valued variables, and restrict the search of an optimal solution to the smaller set of remaining variables.

연구 동기 및 목표

• 부등식 제약 조건당 변수가 최대 두 개인 서브모듈러 최소화 문제(SM2)의 근사 가능성과 복잡도를 규명하는 것.
• SM2 문제가 다항 시간 내에서 해결 가능하거나 NP-난이도가 되는 조건을 규명하는 것.
• 정수 중복도를 가진 다중집합으로 결과를 확장하는 것.
• 서브모듈러 클로처 문제와 서브모듈러 컷 문제와 같은 새로운 문제들을 도입하고 분석하는 것.
• 서브모듈러 최소화 문제에서 단조성과 전체로 단조적 제약 조건의 복잡도 격차를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 가능한 반정수 해의 올림 성질을 기반으로 한 라운딩 기법을 사용하여, NP-난이도 SM2 문제에 대한 일반적인 2-근사 알고리즘을 제안한다.
• 2-근사 알고리즘을 구성하기 위한 핵심 서브루틴으로 서브모듈러 클로처 문제를 도입한다.
• 단조성 조건(반대 부호 계수)이 있는 SM2 문제에 대해 강력 다항 시간 알고리즘을 통해 다항 시간 해결 가능성을 증명한다.
• 전체로 단조적 제약 조건 하에서 스위칭 서브모듈러 함수 최소화(SSFM) 문제를 이분 그래프 상의 SM-정점 커버 문제로 감소시켜 NP-난이도를 입증한다.
• 다중집합을 정의하기 위해 다중집합 서브모듈러 함수를 도입하고, 최대 중복도 U에 대해 다항적으로 의존하는 근사 알고리즘의 성질을 보여준다.
• 서브모듈러 함수와 제약 행렬의 구조적 성질을 이용하여 다양한 문제 하위집합의 복잡도를 분류한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 NP-난이도 SM2 문제에 대해 가능한 최고의 근사 비율은 무엇이며, 이는 다항 시간 내에 달성 가능한가?
• RQ2 계수 조건(예: 단조성)이 어떤 조건일 경우 SM2 문제가 다항 시간 내에 해결 가능해지는가?
• RQ3 SM2 문제의 복잡도는 변수가 두 개인 정수 선형 프로그래밍 문제와 비교해 어떻게 다른가?
• RQ4 서브모듈러 클로처 문제는 강력 다항 시간 내에 해결 가능한가? 그리고 이는 더 넓은 근사 결과를 가능하게 하는가?
• RQ5 선형 프로그래밍에서는 다항 시간 해결 가능성을 보장하는 전체로 단조적 제약 행렬이 서브모듈러 최소화 문제에서는 다항 시간 해결 가능성을 보장하지 못하는 이유는 무엇인가?

주요 결과

• 라운딩 성질 또는 단조성 조건을 만족하는 모든 SM2 문제들은 다항 시간 내에 2-근사 가능하다.
• SM2 문제의 2-근사 계수는 NP=P가 아닐 경우 최적이며, 이를 초월할 수 없다.
• 단조성 조건(반대 부호 계수)이 있는 SM2 문제들은 강력 다항 시간 내에 해결 가능하다.
• 전체로 단조적 제약 행렬을 가진 서브모듈러 최소화 문제의 경우, 선형 정수 프로그래밍과 같은 구조이지만 NP-난이도임을 입증한다.
• 서브모듈러 클로처 문제는 다항 시간 내에 해결 가능하며, 2-근사 프레임워크의 핵심 서브루틴으로 기능한다.
• 결과는 최대 중복도 U에 대해 다항 시간 의존성을 가지며, 이 의존성은 NP=P가 아닐 경우 제거될 수 없다.