[논문 리뷰] Submodular spectral functions of principal submatrices of a hermitian matrix, extensions and applications

Shmuel Friedland, Stéphane Gaubert|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 20.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 16인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 스펙트럼이 간격 E에 포함된 헤르미트 행렬 A에 대해, f가 E에서 연산자 단조 함수의 원시 함수인 경우, I ↦ tr f(A[I]) 함수가 초모듈라(rermodular)임을 증명한다. 주요 기여는 고전적 헤이드라드-피셔 행렬식 부등식을 연산자 단조성과 로에브너 이론을 통해 스펙트럼 함수로 일반화한 것으로, CUR 근사와 M-행렬에의 응용을 수반한다.

ABSTRACT

We extend the multiplicative submodularity of the principal determinants of a nonnegative definite hermitian matrix to other spectral functions. We show that if $f$ is the primitive of a function that is operator monotone on an interval containing the spectrum of a hermitian matrix $A$, then the function $I\mapsto { m tr} f(A[I])$ is supermodular, meaning that ${ m tr} f(A[I])+{ m tr} f(A[J])\leq { m tr} f(A[I\cup J])+{ m tr} f(A[I\cap J])$, where $A[I]$ denotes the $I imes I$ principal submatrix of $A$. We discuss extensions to self-adjoint operators on infinite dimensional Hilbert space and to $M$-matrices. We discuss an application to CUR approximation of nonnegative hermitian matrices.

연구 동기 및 목표

• 헤르미트 행렬의 일반 스펙트럼 함수로 주어진 주위 행렬의 행렬식 하위모듈라리티(예: det A[I])를 확장한다.
• 주위 행렬의 함수의 트레이스 tr f(A[I])가 초모듈라(rermodular)가 되는 조건을 규명한다.
• 연산자 단조성, 연산자 볼록성, 하위모듈라 함수 이론 간의 관계를 설정한다.
• 결과를 무한차원 힐베르트 공간 위의 자기수반 연산자와 M-행렬로 확장한다.
• 비음수 정정 헤르미트 행렬에 대한 CUR 행렬 근사에 이 이론을 적용한다.

제안 방법

• 로에브너 이론을 사용하여 연산자 단조 함수와 그 원시 함수 간의 관계를 규명하며, 이 원시 함수는 연산자 볼록 함수임을 이용한다.
• 스펙트럼 정리를 적용하여 헤르미트 A와 부분행렬 색인 집합 I에 대해 f(A[I])를 정의한다.
• 초모듈라리티 개념을 활용: 모든 I, J ⊆ [m]에 대해 tr f(A[I]) + tr f(A[J]) ≤ tr f(A[I ∪ J]) + tr f(A[I ∩ J])이다.
• 연산자 단조 함수의 적분 표현과 연속성 논증을 통해 주요 결과를 증명한다.
• 테일러 전개와 블록 행렬 분해를 이용한 반례를 구성하여, [0,1]과 [1,2] 외부에서는 초모듈라리티가 성립하지 않음을 보인다.
• 결과를 M-행렬에 적용하고, 스펙트럼 이론을 통해 무한차원 자기수반 연산자로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 헤르미트 행렬 A와 함수 f에 대해, 함수 I ↦ tr f(A[I])가 초모듈라(rermodular)가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 f가 오직 연산자 볼록 함수일 경우에도 tr f(A[I])의 초모듈라리티가 성립하는가, 아니면 반드시 연산자 단조 함수의 원시 함수여야 하는가?
• RQ3 행렬식 외에도 A[I]^p나 A[I] log A[I]와 같은 다른 스펙트럼 함수로 주위 행렬의 하위모듈라리티 성질을 일반화할 수 있는가?
• RQ4 f가 연산자 단조 함수의 원시 함수가 아닐 경우, tr f(A[I])의 초모듈라리티에 대한 제약 조건은 무엇인가?
• RQ5 이러한 스펙트럼 하위모듈라리티 결과는 무한차원 자기수반 연산자와 M-행렬로 어떻게 확장되는가?

주요 결과

• f가 A의 스펙트럼에 대해 연산자 단조 함수의 원시 함수일 경우, 함수 I ↦ tr f(A[I])는 초모듈라(rermodular)이다.
• 0 ≤ p ≤ 1일 때, tr A[I]^p는 하위모듈라(submodular); 1 ≤ p ≤ 2일 때는 초모듈라(rermodular)이다.
• p ∈ (2,3)일 경우 엄격한 하위모듈라리티가 발생할 수 있으며, p > 3 또는 p < 0일 경우 엄격한 초모듈라리티가 성립하지 않을 수 있다.
• 반례를 통해 일반적인 연산자 볼록 함수에 대해서도 초모듈라리티가 성립하지 않음을 보였다. 심지어 f가 연산자 단조 함수의 원시 함수일지라도 마찬가지다.
• 스펙트럼이 E에 포함된 헤르미트 행렬의 집합에서 A ↦ tr f(A[I])는 볼록 함수이다.
• 결과는 M-행렬과 분리 가능한 힐베르트 공간 위의 자기수반 연산자로 확장되며, 유사한 스펙트럼 부등식이 성립한다.