[논문 리뷰] Subshifts with Slowly Growing Numbers of Follower Sets

Thomas French, Nic Ormes외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 03.

Cellular Automata and Applications인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 길이 $ n $ 인 단어에 대해 최대 $ n $ 개의 서로 다른 후행 집합을 가진 부분임의자가 소픽일 것이라는 추측을 조사한다. 논문은 $ n \leq 3 $ 에서 이 추측을 증명하고, $ |F_X(n)| \leq \log_2(n+1) $ 이면 소픽성을 보장하는 것을 밝혀내며, 많은 종류의 코딩된 부분임의자에 대해 이 추측을 검증함으로써, 후행 집합의 성장률을 통한 부분임의자의 구조적 제약에 대한 이해를 진전시킨다.

ABSTRACT

For any subshift, define $F_X(n)$ to be the collection of distinct follower sets of words of length $n$ in $X$. Based on a similar result of the second and third authors, we conjecture that if there exists an $n$ for which $|F_X(n)| \leq n$, then $X$ is sofic. In this paper, we prove several results related to this conjecture, including verifying it for $n \leq 3$, proving that the conjecture is true for a large class of coded subshifts, and showing that if there exists $n$ for which $|F_X(n)| \leq \log_2(n+1)$, then $X$ is sofic.

연구 동기 및 목표

• 길이 $ n $ 인 단어에 대해 후행 집합의 수가 유한한 부분임의자가 반드시 소픽일지 조사함. 이는 모어스와 헤들랜드의 고전적 결과를 확장하기 위함이다.
• 추측 1.1을 검증함. 이 추측은 $ |F_X(n)| \leq n $ 이면 소픽성이 성립한다고 주장하며, 작은 $ n $ 과 특정 부분임의자 클래스에 대해 검증한다.
• 후행 집합과 확장자 집합 간의 관계를 탐색함. 특히, 유한한 후행 집합이 유한한 확장자 집합을 암시하는지 평가하고, 그러한 접근의 한계를 분석한다.
• 후행 집합의 성장률에 기반한 소픽성에 대한 충분조건을 수립함. 이는 로그 상한 포함.

제안 방법

• 주어진 부분임의자 $ X $ 를 포함하는 코딩된 부분임의자 $ Y $ 를 구성함. $ Y $ 는 $ X $ 의 단어에 새로운 문자 $ c $ 를 추가함으로써 만들며, $ F_Y(w) $ 가 마지막 $ c $ 이후의 접미사에만 의존하도록 보장함.
• 특정 문자 $ c $ 의 마지막 발생 위치에 따라 길이 $ n $ 의 단어들을 분할하는 방법을 사용함. 이로써 $ L_n(Y) $ 를 $ n+1 $ 개의 집합 $ S_0, \dots, S_n $ 으로 나눔.
• 감소 추론 기법을 적용함: $ |F_Y(n)| \leq n $ 이면, 적어도 하나의 $ S_k $ 가 이전의 어떤 $ S_i $ ($ i < k $) 와 동일한 후행 집합을 가짐을 의미함. 이는 긴 단어의 후행 집합이 짧은 단어나 $ c $ 가 없는 단어의 후행 집합으로 환원됨을 암시함.
• 레마 4.3 을 사용하여, 마지막 $ c $ 이전의 모든 기호를 제거해도 후행 집합이 그대로 유지됨을 보임. 이는 짧은 대체 표현으로의 환원을 가능하게 함.
• 귀납법과 유한 상태 환원을 적용함. $ c $ 가 없는 단어와 길이 $ k $ 이하인 단어들의 모든 후행 집합은 유한하며, 더 긴 모든 단어는 이러한 집합들로 환원되므로, $ Y $ 에서의 서로 다른 후행 집합 총 수는 유한함. 이는 소픽성을 암시함.
• 이전 연구에서 알려진 확장자 집합에 관한 결과 [4] 를 활용함. 비록 유한한 확장자 집합이 소픽성을 암시하지만, 그 역은 성립하지 않음. 따라서 후행 집합 접근법은 필수적이며, 독립적임을 밝힘.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일부 $ n $ 에 대해 $ |F_X(n)| \leq n $ 이면 $ X $ 는 소픽일까? 이는 추측된 바이다.
• RQ2 이 추측은 $ n = 1, 2, 3 $ 과 같은 작은 값들에 대해 검증될 수 있는가?
• RQ3 $ |F_X(n)| $ 에 대해 로그 성장 상한이 존재할까? 여전히 소픽성을 암시하는가?
• RQ4 이 추측은 광범위한 코딩된 부분임의자 클래스에 대해 증명될 수 있는가?
• RQ5 확장자 집합과 후행 집합은 소픽성을 결정하는 데 얼마나 관련이 깊은가?

주요 결과

• 추측 $ |F_X(n)| \leq n $ 가 소픽성을 암시함을 $ n = 1, 2, 3 $ 에서 증명함. 이는 정리 4.5, 4.9, 4.10 에서 확인됨.
• $ n \geq 1 $ 에 대해 $ |F_X(n)| \leq \log_2(n+1) $ 이면 $ X $ 는 소픽임을 정리 4.7 에서 입증함.
• $ S $-gap 이quisitions 및 역순 문맥 자유 이quisitions을 포함한 광범위한 코딩된 부분임의자 클래스에 대해 이 추측이 성립함을 정리 4.12 와 비고 4.13 에서 보여줌.
• 논문은 부분임의자 $ X $ 에서 새로운 문자 $ c $ 를 추가하여 부분임의자 $ Y $ 를 구성함. $ |F_Y(n)| \leq n $ 이면 $ Y $ 는 소픽이며, 이는 후행 집합의 환원을 통해 $ X $ 도 소픽임을 암시함.
• 논문은 확장자 집합이 지수적으로 증가하는 동안 후행 집합의 수가 느리게 증가할 수 있음을 보여줌. 이는 확장자 집합 접근법만으로는 추측을 해결할 수 없음을 시사함.
• 증명은 구조적 환원에 의존함: 길이 $ \geq k $ 이고 주어진 후행 집합을 가진 모든 단어는 길이 $ \leq k-1 $ 인 단어 또는 $ c $ 가 없는 단어로 환원될 수 있으며, 이들 모두는 유한한 수의 후행 집합을 가짐.