[논문 리뷰] Subspace-search variational quantum eigensolver for excited states

Ken Nakanishi, Kosuke Mitarai외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 22.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 보조 큐비트 없이 분자의 및 스핀 해밀토니안의 고유 상태를 효율적으로 찾는 near-term 양자 알고리즘인 하위공간 탐색 변분 양자 고유값 해법(SSVQE)을 제안한다. 파arameterized 양자 회로에 정규직교 입력 상태를 초기화하고, unitary 변환을 통해 정규직교성을 유지하는 비용 함수를 최소화함으로써, SSVQE는 단 한 번 또는 두 번의 최적화 단계 내에 k번째 고유 상태를 탐색할 수 있으며, 횡방향 이징 모델과 HeH 분자에서의 시뮬레이션을 통해 높은 정밀도로 검증되었다.

ABSTRACT

The variational quantum eigensolver (VQE), a variational algorithm to obtain an approximated ground state of a given Hamiltonian, is an appealing application of near-term quantum computers. The original work [A. Peruzzo et al.; extit{Nat. Commun.}; extbf{5}, 4213 (2014)] focused only on finding a ground state, whereas the excited states can also induce interesting phenomena in molecules and materials. Calculating excited states is, in general, a more difficult task than finding ground states for classical computers. To extend the framework to excited states, we here propose an algorithm, the subspace-search variational quantum eigensolver (SSVQE). This algorithm searches a low energy subspace by supplying orthogonal input states to the variational ansatz and relies on the unitarity of transformations to ensure the orthogonality of output states. The $k$-th excited state is obtained as the highest energy state in the low energy subspace. The proposed algorithm consists only of two parameter optimization procedures and does not employ any ancilla qubits. The disuse of the ancilla qubits is a great improvement from the existing proposals for excited states, which have utilized the swap test, making our proposal a truly near-term quantum algorithm. We further generalize the SSVQE to obtain all excited states up to the $k$-th by only a single optimization procedure. From numerical simulations, we verify the proposed algorithms. This work greatly extends the applicable domain of the VQE to excited states and their related properties like a transition amplitude without sacrificing any feasibility of it.

연구 동기 및 목표

• 근접한 양자 컴퓨터에서 양자 시스템의 고유 상태를 효율적으로 계산할 수 있도록 변분 양자 고유값 해법(VQE) 프레임워크를 확장하는 것.
• 기존의 고유 상태 계산 방법이 계산 비용과 정밀도 측면에서 어려움을 겪는 데 대비하여 이를 해결하는 것.
• 이전 방법에서 사용된 보조 큐비트와 스왑 테스트의 필요성을 제거하여 NISQ 장치에 대한 구현 가능성을 높이는 것.
• 단일 최적화 절차를 통해 최대 k번째 수준까지 다수의 고유 상태를 동시에 탐색하는 방법을 개발하는 것.
• 재료의 물리적 성질 분석을 위한 전이 진폭 계산 등 실용적 응용을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• SSVQE는 관심 있는 하위공간을 구성하기 위해 다수의 정규직교 입력 상태를 parameterized 양자 회로(아나츠)에 초기화한다.
• 하위공간의 평균 에너지를 최소화하면서 정규직교성을 unitary 변환을 통해 유지하는 비용 함수를 사용한다.
• 최적화 후 저에너지 하위공간 내에서 가장 높은 에너지를 가진 상태를 k번째 고유 상태로 식별한다.
• 일반화된 가중치가 부여된 SSVQE 변형은 단일 실행 내에서 기저 상태부터 k번째 고유 상태까지의 모든 상태를 동시에 최적화하기 위해 가중치가 부여된 비용 함수를 사용한다.
• 이 방법은 보조 큐비트와 스왑 테스트를 회피하며, 오직 unitary 변환을 통해 상태 간 정규직교성을 유지한다.
• 알고리즘은 양자 하드웨어에서 고전적 최적화기를 사용해 회로 파라미터를 변분 최적화함으로써 구현된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 보조 큐비트나 스왑 테스트 없이도 변분 양자 알고리즘이 해밀토니안의 고유 상태를 찾을 수 있는가?
• RQ2 SSVQE는 단 한 번 또는 두 번의 최적화 절차만으로 k번째 고유 상태를 탐색할 수 있는가?
• RQ3 가중치가 부여된 SSVQE는 단일 최적화 실행 내에서 다수의 고유 상태(최대 k번째까지)를 동시에 근사할 수 있는가?
• RQ4 SSVQE는 HeH와 같은 분자 시스템의 고유 상태 에너지를 얼마나 정확하게 계산할 수 있는가?
• RQ5 SSVQE는 재료의 물리적 성질 분석을 위한 고유 상태 간 전이 진폭을 추정하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• SSVQE는 단 두 번의 최적화 단계만으로 횡방향 이징 모델의 세 번째 고유 상태를 매우 높은 정밀도로 성공적으로 탐색하였다.
• 가중치가 부여된 SSVQE는 단일 최적화 절차 내에서 세 번째 고유 상태까지의 모든 고유 상태를 정확하게 계산하여 정확한 대각화 결과와 일치시켰다.
• 24개의 서로 다른 결합 길이에서 HeH 분자에 대한 시뮬레이션 결과, SSVQE로 예측한 고유 상태 에너지와 정확한 값 간에 뛰어난 일치를 보였다.
• SSVQE 최적화 과정에서 출력 상태의 편향도 거의 1에 수렴하여 목표 고유 상태에 수렴하고 있음을 나타내었다.
• 가중치가 부여된 SSVQE는 표준 SSVQE와 유사한 수렴 속도를 확보하면서도 동시에 다수의 고유 상태를 계산할 수 있었다.
• 이 방법은 고유 상태 간 전이 진폭 추정이 가능하게 하여 유전율 및 자발적 방출률과 같은 물리적 성질 계산에 유용하다.