[논문 리뷰] Substitutions over infinite alphabet generating (-\beta)-integers

Dombek, Daniel|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 18.

semigroups and automata theory인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 무한 알파벳 위의 무한 단어를 사용하여 유한한 (−β)-전개를 가진 수의 집합—(−β)-정수—를 코딩하기 위한 조합론적 프레임워크를 제안한다. 이 단어가 자기 유사성과 허용 가능성 기준에서 유도된 비-지우기, 비-항등적 반형사의 고정점임을 입증한다. 주요 기여는 임의의 β > 1에 대해 이러한 형사의 일반적 구축을 제공함으로써 이전 결과를 임의의 l ∈ (−1, 0]을 갖는 더 넓은 (−β)-전개의 범주로 확장하는 것이다.

ABSTRACT

This contribution is devoted to the study of positional numeration systems with negative base introduced by Ito and Sadahiro in 2009, called (-\beta)-expansions. We give an admissibility criterion for more general case of (-\beta)-expansions and discuss the properties of the set of (-\beta)-integers. We give a description of distances within this set and show that this set can be coded by an infinite word over an infinite alphabet, which is a fixed point of a non-erasing non-trivial morphism.

연구 동기 및 목표

• 임의의 l ∈ (−1, 0]을 갖는 일반화된 (−β)-전개를 통해 (−β)-정수의 집합 Z−β를 정의하고 특성화하기.
• 교대 사전순서를 기반으로 한 기준 문자열 d(l) 및 d*(l+1)을 사용하여 (−β)-전개의 숫자 문자열의 허용 가능성 기준을 설정하기.
• 기준 문자열에 기반한 재귀 공식을 사용하여 연속된 (−β)-정수 간의 거리를 기술하기.
• 정렬된 집합 Z−β를 무한 알파벳 위의 무한 단어로 코딩하기.
• 비-지우기, 비-항등적 반형사의 제곱이 이 무한 단어를 고정하는 존재를 증명하기.

제안 방법

• l ∈ (−1, 0]을 만족하도록 구간 [l, l+1)에서 T(x) = −βx − ⌊−βx − l⌋의 일반화된 변환을 통해 (−β)-전개를 정의하여 0이 유효한 숫자임을 보장하기.
• 기준 문자열 d(l) 및 d*(l+1)을 기반으로 교대 사전순서 ≺alt를 사용하여 무한 숫자 문자열의 허용 가능성 정의하기.
• 유한 숫자 문자열이 기수 (−β)로 표현하는 실수의 값을 계산하기 위해 값 함수 γ를 도입하기.
• 길이 k에 대한 극한 허용 문자열 min(k) 및 max(k)를 정의하여 연속된 (−β)-정수 간의 거리 ∆k를 계산하기.
• v−β ∈ NZ에서 vn = k이면 zn과 zn+1 사이의 간격이 ∆k와 같다는 조건을 만족하는 무한 단어 v−β를 구성하기.
• Z−β가 −β를 곱하는 연산에 대해 자기 유사성을 보임을 이용하여, Ψ = Φ²가 v−β를 고정하는 반형사 Φ의 존재를 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 β > 1 및 l ∈ (−1, 0]에 대해 (−β)-정수의 집합이 무한 알파벳 위의 무한 단어로 코딩될 수 있는가?
• RQ2 Ito-Sadahiro 사례를 초월하여 (−β)-전개의 허용 조건의 일반적 형태는 무엇인가?
• RQ3 연속된 (−β)-정수 간의 거리는 기준 문자열 d(l) 및 d*(l+1)의 구조에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 Z−β를 코딩하는 무한 단어를 생성할 수 있는 형사 또는 반형사가 존재하는가? 그 구조적 특성은 무엇인가?
• RQ5 무한 알파벳 코딩이 유한 알파벳으로 투영될 수 있는 조건은 무엇이며, 그 과정에서 형사적 구조는 어떻게 유지되는가?

주요 결과

• 집합 Z−β는 양방향 무한 단어 v−β ∈ NZ로 코딩되며, 각 위치 n은 연속된 (−β)-정수 간의 간격 크기 ∆k를 인코딩한다.
• 단어 v−β는 비-지우기, 비-항등적 반형사 Φ의 제곱인 Ψ = Φ²의 고정점이며, Ψ(v−β) = v−β를 만족한다.
• β ≈ 4.3 (다항식 x³ − 3x² − 4x − 2의 실근)일 경우, 반형사는 다음과 같이 명시적으로 주어진다: Φ(0) = 02102, Φ(1) = 2, Φ(2) = 3, Φ(2k+1) = 0210(2k+2)0102, Φ(2k+2) = 2k+3 (k ≥ 1).
• 유한 알파벳 투영이 존재한다: ϕ(0) = 02102, ϕ(1) = 2, ϕ(2) = 3, ϕ(3) = 021020102이며, 이는 투영된 단어 u−β = Π(v−β)를 고정한다.
• 연속된 (−β)-정수 간의 거리 ∆k는 명시적으로 계산된다: ∆₀ = 1, ∆₁ = −1 + 4/β + 2/β², ∆₂ₖ = 1 − 2/β − 2/β², ∆₂ₖ₊₁ = 1 + 2/β + 2/β² (k ≥ 1).
• min(k) 및 max(k)의 구조는 d(l) 및 d*(l+1)의 주기성에 따라 달라지며, l = −1/2 및 β ≈ 4.3와 같은 특정 경우에 대해 닫힌 형태가 유도된다.