[논문 리뷰] Subtractions for SCET Soft Functions

C. Bauer, Nicholas Daniel Dunn외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 24.

Scheduling and Optimization Algorithms인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 임의의 조건에서의 N-jet 이벤트에 대해 소프트-콜라인 효과 이론(Soft-Collinear Effective Theory, SCET)에서 다음 주요 순서(NLO)로 소프트 함수를 계산하기 위한 뺄셈 기반 방법을 제시한다. 조건에 따라 제트 유형을 Type I(포괄적 알고리즘과 제트 형상 측정)와 Type II(배제적 또는 포괄적 알고리즘과 방향/에너지 측정)로 분류함으로써, 기존의 분석 결과를 재사용하여 이전까지 알려지지 않았던 소프트 함수를 수치적으로 계산할 수 있음을 보여준다. 이는 힉톤 충돌기에서 $\eta$-$\phi$ 제트 알고리즘과 1-제트 터널리티 측정에 대해서도 적용 가능하다.

ABSTRACT

We present a method to calculate the soft function in Soft-Collinear Effective Theory to NLO for N-jet events, defined with respect to arbitrarily complicated observables and algorithms, using a subtraction-based method. We show that at one loop the singularity structure of all observable/algorithm combinations can be classified as one of two types. Type I jets include jets defined with inclusive algorithms for which a jet shape is measured. Type II jets include jets found with exclusive algorithms, as well as jets for which only the direction and energy are measured. Cross sections that are inclusive over a certain region of phase space, such as the forward region at a hadron collider, are examples of Type II jets. We show that for a large class of measurements the required subtractions are already known analytically, including traditional jet shape measurements at hadron colliders. We demonstrate our method by calculating the soft functions for the case of jets defined in eta-phi space with an out-of-jet pT cut and a rapidity cut on the jets, as well as for the case of 1-jettiness.

연구 동기 및 목표

• 실제 제트 알고리즘과 관측량에 대해 힉톤 충돌기 물리학에서 NLO 소프트 함수 계산의 부족을 해결하기 위해.
• 제트 정의를 두 유형으로 분류함—Type I(포괄적 알고리즘과 제트 형상 측정), Type II(배제적 또는 포괄적 알고리즘과 방향/에너지 측정)—소프트 함수의 특이성 구조를 체계적으로 다룰 수 있도록 하기 위해.
• 이미 존재하는 분석 결과를 재사용하여 새로운 소프트 함수를 수치적으로 계산할 수 있는 일반적인 뺄셈 프레임워크를 개발하기 위해.
• 이전에 NLO에서 접근이 어려웠던 $\eta$-$\phi$ 제트 알고리즘과 1-제트 터널리티와 같은 현상학적으로 중요한 사례에 대해 이 방법을 적용하여 성능을 입증하기 위해.
• 복잡한 관측량에 대해 소프트 함수를 체계적으로 계산할 수 있는 방법을 제공함으로써, 제트 단면적에서 큰 로그의 정밀한 재결합을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 소프트 함수의 특이성을 두 유형으로 분류함—Type I는 대칭적인 제트 형상 관측량(예: 스트레스)이 있는 포괄적 알고리즘, Type II는 제트 방향과 에너지 측정이 있는 배제적 또는 포괄적 측정.
• 소프트 함수를 $\mathcal{S} = \widetilde{\mathcal{S}} + \mathcal{D}$로 분해하는 뺄셈 기반 방법을 사용함. 여기서 $\widetilde{\mathcal{S}}$는 알려진 분석적 뺄셈 함수이고, $\mathcal{D}$는 수치적으로 계산되어야 할 유한한 나머지 항.
• 뺄셈 함수 $\widetilde{\mathcal{S}}^{(1)}$는 Ellis 등(2010)의 기존 결과를 바탕으로 구성되며, 포괄적 소프트 함수 $S^{\text{incl}}_{ij}$와 제트 특화 기여 $S^k_{ij}$를 조합하고, Type I 제트의 경우 $\delta(\tau_a^k)$와 같은 델타 함수를 통해 측정을 표현함.
• Type II 제트의 경우, 콘 또는 $k_T$ 알고리즘과 같은 포괄적 제트 알고리즘을 사용하며, 제트 축으로부터의 각도 거리를 사용함으로써 전체 위상공간에서 뺄셈이 유효하게 유지됨.
• 유한한 나머지 항 $\mathcal{D}^{(1)}$는 몬테카를로 적분을 통해 소프트 위상공간에서 수치적으로 계산되며, $\mathcal{D}^{(1)}$가 유한하고 잘 행동함을 이용함.
• 이 방법은 세 제트 구성에서 알려진 분석 결과를 재현함으로써 검증되었고, $\eta$-$\phi$ 제트 알고리즘과 1-제트 터널리티와 같은 새로운 사례에 적용되어 몬테카를로 적분의 수치 오차 범위 내에서 일치함을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 제트 알고리즘과 관측량에 대해 NLO에서 SCET 소프트 함수를 계산할 수 있는 일반적인 뺄셈 방법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 소프트 함수의 특이성 구조는 어떻게 분류할 수 있으며, 이를 통해 SCET에서 체계적인 뺄셈을 가능하게 할 수 있는가?
• RQ3 이미 존재하는 소프트 함수에 대한 분석 결과는 얼마나 넓은 범위로 재사용되어 새로운 소프트 함수를 수치적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 이 방법은 스트레스가 같은 복잡한 제트 구성, 예를 들어 에너지 절단이 있는 동일하게 간격을 둔 세 개의 제트에 대해 알려진 결과를 정확하게 재현할 수 있는가?
• RQ5 이 방법은 힉톤 충돌기에서 현상학적으로 중요한 제트 정의, 예를 들어 $\eta$-$\phi$ 알고리즘과 1-제트 터널리티에 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 NLO 소프트 함수 특이성을 두 유형으로 성공적으로 분류함—Type I(포괄적 알고리즘과 대칭적인 제트 형상), Type II(배제적 또는 포괄적 알고리즘과 방향/에너지 측정).
• Type I 제트의 경우, 제트 형상 관측량이 제트 축을 중심으로 대칭이어야 하며, 고에너지 근처에서 $a<1$인 각도 함수와 유사하게 행동해야 함.
• 뺄셈 함수 $\widetilde{\mathcal{S}}^{(1)}$는 Ellis 등(2010)의 기존 분석 결과를 바탕으로 구성되어, 이전까지 알려지지 않았던 소프트 함수를 수치적으로 계산할 수 있게 함.
• 반지름 $R=0.4$, 에너지 125 GeV, 제트 외부 에너지 절단 $\Lambda=50$ GeV 조건에서 세 개의 균일하게 간격을 둔 제트에 대해 알려진 분석 결과를 몬테카를로 적분의 수치 오차 범위 내에서 재현함.
• $p_T$ 절단과 빠르도성 제약 조건이 있는 $\eta$-$\phi$ 제트 알고리즘에 대한 소프트 함수는 수치적으로 계산되었으며, 제트 반지름 $R$과 빔에 대한 제트 각도에 따라 의존성을 보임.
• 1-제트 터널리티로의 확장은 Type I 제트만을 사용하며, 결과 소프트 함수는 측정된 제트의 각도에 따라 함수로 계산됨으로써 광범위한 적용 가능성을 입증함.