[논문 리뷰] Subtrees and independent subsets in unicyclic graphs and unicyclic graphs with fixed segment sequence

Eric Ould Dadah Andriantiana, Hua Wang|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 22.

Graph theory and applications참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고정된 둘레 또는 세그먼트 순서를 가진 조건 하에서 최대 수의 부분수형과 독립 정점 부분집합(메리필드-시몬스 지수)을 갖는 극단적일리우클릭 그래프를 조사한다. 부분수형 수를 극대화하는 구조는 웨이너 지수를 최소화하지 않으며, 독립 정점 부분집합 수를 극대화하는 구조는 매칭 수를 최소화하지 않는다는 것을 보여주며, 고정된 세그먼트 순서를 가진 일리우클릭 그래프에서 이러한 위상 지수 간의 잘 알려진 음의 상관관계에 대한 첫 번째 알려진 반례를 제공한다.

ABSTRACT

In the study of topological indices two negative correlations are well known: that between the number of subtrees and the Wiener index (sum of distances), and that between the Merrifield-Simmons index (number of independent vertex subsets) and the Hosoya index (number of independent edge subsets). That is, among a certain class of graphs, the extremal graphs that maximize one index usually minimize the other, and vice versa. In this paper, we first study the numbers of subtrees in unicyclic graphs and unicyclic graphs with a given girth, further confirming its opposite behavior to the Wiener index by comparing with known results. We then consider the unicyclic graphs with a given segment sequence and characterize the extremal structure with the maximum number of subtrees. Furthermore, we show that these graphs are not extremal with respect to the Wiener index. We also identify the extremal structures that maximize the number of independent vertex subsets among unicyclic graphs with a given segment sequence, and show that they are not extremal with respect to the number of independent edge subsets. These results may be the first examples where the above negative correlation failed in the extremal structures between these two pairs of indices.

연구 동기 및 목표

• 모든 n-정점 일리우클릭 그래프 중에서 부분수형 수를 극대화하거나 최소화하는 일리우클릭 그래프를 특성화하는 것.
• 고정된 둘레를 가진 일리우클릭 그래프에서 부분수형 수와 웨이너 지수 간의 관계를 조사하는 것.
• 주어진 세그먼트 순서를 가진 극단적 일리우클릭 그래프 중에서 부분수형 수와 독립 정점 부분집합 수를 극대화하는 것을 식별하는 것.
• 일리우클릭 그래프에서 고정된 세그먼트 순서를 가질 때, 위상 지수 간의 잘 알려진 음의 상관관계(예: 부분수형 수 대 웨이너 지수, 메리필드-시몬스 지수 대 호이자 지수)가 유지되는지 조사하는 것.
• 고정된 세그먼트 순서를 가진 일리우클릭 그래프에서 독립 정점 부분집합 수를 극대화하는 구조가 매칭 수(호이자 지수)를 극대화하는지 여부를 확인하는 것.

제안 방법

• 길이 $l$ 의 사이클과 $n-l$ 개의 이원 정점 또는 이원 경로를 갖는 일리우클릭 그래프 $US_n^l$ 과 $UP_n^l$ 을 정의하여, 각각 사이클의 한 정점에 $n-l$ 개의 이원 정점을 또는 길이 $n-l$ 의 경로를 연결한 구조로 극단적 그래프로 간주한다.
• 정점의 차수 ≠2 인 정점들 사이의 경로 길이의 순서 목록인 세그먼트 순서를 사용하여 일리우클릭 그래프를 분류하고, 극단적 구조를 분석한다.
• 해당 경로들 간의 독립 집합에 관한 조합적 보조정리를 적용하며, 특히 메리필드-시몬스 지수를 위한 피보나치 기반 항등식을 활용한다.
• 반복적 변환을 통해 극단성을 증명한다: 이원 경로를 한 정점으로 이동시켜 독립 집합 수나 부분수형 수를 증가시킨다.
• 재귀적 분해를 사용하여 비교한다: $\sigma(G) = \sigma(G - v) + \sigma(G - [v])$, 여기서 $v$ 는 정점이다.
• 세그먼트 길이와 세그먼트 수에 대한 귀납법과 케이스 분석을 통해 $\sigma(G)$ 와 $n(G)$ 에 대한 부등식을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 n-정점 일리우클릭 그래프 중에서 부분수형 수를 극대화하는 일리우클릭 그래프는 무엇인가?
• RQ2 고정된 둘레를 가진 일리우클릭 그래프 중에서 부분수형 수를 극대화하는 극단적 그래프는 웨이너 지수를 최소화하는가?
• RQ3 주어진 세그먼트 순서를 가진 일리우클릭 그래프에서 부분수형 수를 극대화하는 구조는 무엇인가?
• RQ4 고정된 세그먼트 순서를 가진 일리우클릭 그래프에서 메리필드-시몬스 지수와 호이자 지수 간의 음의 상관관계는 유지되는가?
• RQ5 고정된 세그먼트 순서를 가진 일리우클릭 그래프에서 독립 정점 부분집합 수를 극대화하는 그래프는 매칭 수(호이자 지수)를 극대화하는가?

주요 결과

• 길이 $l$ 의 사이클에 $n-l$ 개의 이원 정점을 한 정점에 연결하여 만든 일리우클릭 그래프 $US_n^l$ 은 둘레 $l$ 을 가진 모든 n-정점 일리우클릭 그래프 중에서 부분수형 수를 극대화한다.
• 길이 $n-l$ 의 경로를 길이 $l$ 의 사이클의 한 정점에 연결하여 만든 일리우클릭 그래프 $UP_n^l$ 은 둘레 $l$ 을 가진 모든 n-정점 일리우클릭 그래프 중에서 부분수형 수를 최소화한다.
• 세그먼트 순서 $(l_1, \dots, l_m)$ 에 대해 $l_1 \geq 3$ 인 경우, 사이클이 길이 $l_1$ 인 세그먼트이고, 나머지 세그먼트들이 별 모양의 트리를 형성하는 그래프 $U_1(l_1, \dots, l_m)$ 이 부분수형 수를 극대화한다.
• 고정된 세그먼트 순서를 가진 일리우클릭 그래프에서 부분수형 수를 극대화하는 극단적 그래프는 웨이너 지수를 최소화하지 않으며, 이는 일반적인 음의 상관관계와 모순된다.
• 고정된 세그먼트 순서를 가진 일리우클릭 그래프에서 메리필드-시몬스 지수(독립 정점 부분집합 수)를 극대화하는 그래프는 $U_2(l_1, \dots, l_m)$ 이며, 이는 사이클 상의 두 정점에 가장 긴 세그먼트들이 연결된 구조이다.
• 메리필드-시몬스 지수를 극대화하는 극단적 그래프는 매칭 수(호이자 지수)를 최소화하지 않으며, 이는 고정된 세그먼트 순서를 가진 일리우클릭 그래프에서 이러한 두 지수 간의 음의 상관관계에 대한 첫 번째 알려진 반례를 제공한다.