[논문 리뷰] Succinct Fermion Data Structures

Joseph Carolan, Luke Schaeffer|arXiv (Cornell University)|2024. 10. 05.

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 두 가지 새로운 이중 쿠앙타이징 페르미온 인코딩을 제안하며, I + o(I) 또는 I + O(1) 큐비트만을 사용함으로써 거의 최적의 공간 사용을 달성하면서도 효율적인 페르미온 회전 연산을 가능하게 한다. 여기서 I = ⌈log₂(M 선택 F)⌉이다. 첫 번째 인코딩은 F = o(M)일 때 O(I) 게이트 복잡도와 O(log M log log M) 회로 깊이를 제공하며, 두 번째 인코딩은 F = Θ(M)일 때 O(I³) 게이트를 사용하면서도 오직 O(1)개의 추가 큐비트만을 요구하여 각각 다항식 및 지수적 개선을 이룬다.

ABSTRACT

Simulating fermionic systems on a quantum computer requires representing fermionic states using qubits. The complexity of many simulation algorithms depends on the complexity of implementing rotations generated by fermionic creation-annihilation operators, and the space depends on the number of qubits used. While standard fermion encodings like Jordan-Wigner are space optimal for arbitrary fermionic systems, physical symmetries like particle conservation can reduce the number of physical configurations, allowing improved space complexity. Such space saving is only feasible if the gate overhead is small, suggesting a (quantum) data structures problem, wherein one would like to minimize space used to represent a fermionic state, while still enabling efficient rotations. We define a structure which naturally captures mappings from fermions to systems of qubits. We then instantiate it in two ways, giving rise to two new second-quantized fermion encodings of $F$ fermions in $M$ modes. An information theoretic minimum of $\mathcal{I}:=\lceil\log \binom{M}{F} ceil$ qubits is required for such systems, a bound we nearly match over the entire parameter regime. (1) Our first construction uses $\mathcal I+o(\mathcal I)$ qubits when $F=o(M)$, and allows rotations generated by creation-annihilation operators in $O(\mathcal I)$ gates and $O(\log M \log \log M)$ depth. (2) Our second construction uses $\mathcal I+O(1)$ qubits when $F=Θ(M)$, and allows rotations generated by creation-annihilation operators in $O(\mathcal I^3)$ gates. In relation to comparable prior work, the first represents a polynomial improvement in both space and gate complexity (against Kirby et al. 2022), and the second represents an exponential improvement in gate complexity at the cost of only a constant number of additional qubits (against Harrison et al. or Shee et al. 2022), in the described parameter regimes.

연구 동기 및 목표

• 입자 수 대칭성을 활용하여 큐비트 오버헤드를 줄이는 공간 효율적이고 게이트 효율적인 이중 쿠앙타이징 페르미온 인코딩을 개발한다.
• 페르미온 시뮬레이션 회로에서 큐비트 수와 게이트 깊이 사이의 상충 관계를 해결한다.
• 정보 이론적 최적화에 근접한 큐비트 사용을 달성하면서도 페르미온 생성/소멸 연산자 회전의 효율적 구현을 유지한다.
• 이전의 압축된 인코딩이 높은 게이트 또는 깊이 오버헤드를 초래하는 한계를 극복한다.
• 특히 F ≪ M 또는 F ≈ M 인 영역에서 더 스케일러블한 페르미온 시스템의 양자 시뮬레이션을 가능하게 한다.

제안 방법

• F 개의 페르미온을 M 모드에 매핑하여 조합적 인덱싱을 사용하는 페르미온 데이터 구조의 일반적 프레임워크를 정의한다.
• F = o(M)일 때 I + o(I) 큐비트를 사용하는 정렬된 리스트 기반 인코딩을 제안하며, 효율적인 병렬 인덱스 검색 및 리스트 회전 회로를 활용한다.
• 비트스트링 표현과 교차 배치된 패딩을 사용하는 암시적 계층 인코딩을 도입하여 F = Θ(M)일 때 I + O(1) 큐비트를 달성한다.
• 페르미온 연산자 회전을 구현하기 위해 일관된 제어 회전과 병렬 서브루틴을 사용하는 저깊이 양자 회로를 설계한다.
• 대수적 분해와 비트스트링 순서를 활용하여 회로 깊이와 게이트 수를 최소화하면서도 페르미온 통계를 유지한다.
• 압축된 데이터 구조와 병렬 계산 기법을 적용하여 공간과 회로 깊이 양측을 최적화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 쿠앙타이징 페르미온 인코딩이 I + o(I) 또는 I + O(1) 큐비트를 사용하면서도 낮은 게이트 복잡도와 낮은 회로 깊이를 유지할 수 있는가?
• RQ2 F = o(M)일 때 페르미온 생성/소멸 연산자 회전을 O(I) 게이트와 O(log M log log M) 깊이로 구현할 수 있는가?
• RQ3 F = Θ(M)일 때 기존의 O(I²2^I) 또는 O(F²) 기준에 비해 게이트 복잡도를 O(I³)로 줄일 수 있고, 추가 큐비트는 오직 O(1)개만 사용할 수 있는가?
• RQ4 1-쿼런타이징 스타일의 리스트 인코딩을 압축형으로 만들면서도 반대칭화 및 효율적 연산을 유지할 수 있는가?
• RQ5 페르미온 회전에 대해 O(I) 게이트 복잡도를 유지하기 위해 필요한 최소 큐비트 오버헤드는 얼마인가?

주요 결과

• 첫 번째 인코딩은 F = o(M)일 때 I + o(I) 큐비트를 사용하며, O(I) 게이트 복잡도와 O(log M log log M) 회로 깊이를 달성하여 이전 방법에 비해 다항식적 개선을 이룬다.
• 두 번째 인코딩은 F = Θ(M)일 때 I + O(1) 큐비트를 사용하며, O(I³) 게이트 복잡도를 제공하여 기존의 O(I²2^I) 또는 O(F²) 방법에 비해 게이트 수에서 지수적 개선을 이룬다.
• 공간 사용은 점 渐진적으로 최적이며, 첫 번째 인코딩은 정보 이론적 하한 I = ⌈log₂(M 선택 F)⌉에 1 + o(1) 요인 내에서 근접해 있다.
• F = o(M)일 때 게이트 복잡도는 F에 대해 제곱적으로 개선되었고, 기존 최적의 차수 인코딩에 비해 log M 기준 최소 4개의 자리수 개선을 보였다.
• 압축된 인코딩에서 발생하는 지수적 오버헤드를 피하면서도 일관된 제어 페르미온 회전의 효율적 구현을 유지한다.
• 암시적 인코딩은 교차 배치된 패딩을 갖는 계층적 비트스트링 구조를 사용하여 일정한 오버헤드를 달성하면서도 병렬 리스트 회전 및 인덱스 검색을 통해 저깊이 회로를 가능하게 한다.