[논문 리뷰] Sufficient and Necessary Criteria for Existence of Pullback Attractors for Non-compact Random Dynamical Systems

Bixiang Wang|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 10.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 38인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 결정론적 및 확률적 외부 힘에 의해 구동되는 비자율적이고 비유계 영역에서의 비정상적 비유계 랜덤 동역계에서의 피드백 추적자 존재를 위한 필요 및 충분 조건을 설정한다. 비유계 영역에서의 비유계성 문제를 극복하기 위해 이중 매개변수 코시클 프레임워크와 尾-추정 기법을 도입함으로써, 저자들은 $\mathbb{R}^n$에서의 반응-확산 방정식에 대해 유일한 피드백 추적자를 증명하고, 적절한 조건 하에서 주기적인 결정론적 외부 힘이 주기적인 피드백 추적자를 유도함을 보였다.

ABSTRACT

We study pullback attractors of non-autonomous non-compact dynamical systems generated by differential equations with non-autonomous deterministic as well as stochastic forcing terms. We first introduce the concepts of pullback attractors and asymptotic compactness for such systems. We then prove a sufficient and necessary condition for existence of pullback attractors. We also introduce the concept of complete orbits for this sort of systems and use these special solutions to characterize the structures of pullback attractors. For random systems containing periodic deterministic forcing terms, we show the pullback attractors are also periodic. As an application of the abstract theory, we prove the existence of a unique pullback attractor for Reaction-Diffusion equations on $\R^n$ with both deterministic and random external terms. Since Sobolev embeddings are not compact on unbounded domains, the uniform estimates on the tails of solutions are employed to establish the asymptotic compactness of solutions.

연구 동기 및 목표

• 비자율적이고 비유계인 랜덤 동역계에서 결정론적 및 확률적 외부 힘을 모두 갖는 경우 피드백 추적자의 존재를 위한 필요 및 충분 조건을 설정하는 것.
• 이러한 시스템에 대해 ${{\mathcal{D}}}$-완전 궤도의 개념을 도입하고, 이를 통해 ${{\mathcal{D}}}$-피드백 추적자의 구조를 특성화하는 것.
• 결정론적 외부 힘이 주기적일 경우 피드백 추적자의 주기성이 어떻게 발생하는지 조사하여 이론을 랜덤 주기적 추적자로 확장하는 것.
• 추상적 프레임워크를 반응-확산 방정식에 적용하여 유계 영역 $\mathbb{R}^n$에서의 유일한 피드백 추적자의 존재를 증명하는 것.

제안 방법

• 결정론적 외부 힘 $\Omega_1$ 과 확률적 외부 힘 $\Omega_2$ 에 기반한 이중 매개변수 코시클 프레임워크를 도입하여, 전통적인 랜덤 및 비자율적 결정론적 코시클을 일반화하는 것.
• 이 확장된 설정에서 ${{\mathcal{D}}}$-피드백 흡수 집합, ${{\mathcal{D}}}$-피드백 점근적 컴팩트성, ${{\mathcal{D}}}$-피드백 추적자를 정의하는 것.
• 비유계 영역에서의 콤팩트 소볼레프 포함이 성립하지 않는 문제를 보완하기 위해 해의 균일한 尾-추정을 활용하여 점근적 컴팩트성을 확보하는 것.
• $\mathcal{D}$-완전 궤도를 전방향 및 후방향으로 유계인 전역 해로서 정의하고, 이를 통해 추적자 구조를 특성화하는 것.
• 주기적인 결정론적 외부 힘 하에서 코시클이 주기적임을 보이고, $\mathcal{D}_\lambda$ 가의 번역 불변성 조건을 활용하여 피드백 추적자의 주기성을 증명하는 것.
• 반응-확산 방정식에 추상적 결과를 적용하여 비유계 영역 $\mathbb{R}^n$ 에서 비선형 이동항, 결정론적 외부 힘 $g$, 그리고 곱셈형 노이즈 $h\,d\omega$ 를 갖는 경우의 유일한 ${{\mathcal{D}}}_\lambda$-피드백 추적자의 존재를 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비자율적이고 비유계인 랜덤 동역계에서 혼합 외부 힘을 갖는 경우 피드백 추적자의 존재를 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 시스템에서 ${{\mathcal{D}}}$-완전 궤도를 통해 피드백 추적자의 구조는 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 주기적인 결정론적 외부 힘이 랜덤 동역계에서 주기적인 피드백 추적자를 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 추상 이론은 비유계 영역에서의 반응-확산 방정식에 대해 피드백 추적자의 존재를 증명하는 데 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 이중 매개변수 코시클을 갖는 랜덤 동역계에서 ${{\mathcal{D}}}$-피드백 추적자의 존재를 위한 필요 및 충분 조건이 확립되었다.
• $\mathcal{D}$-피드백 추적자는 모든 $\mathcal{D}$-완전 궤도의 합집합으로 특성화되며, 이는 결정론적 특성화를 랜덤 시스템으로 확장한 것이다.
• 주기 $T$ 를 갖는 주기적인 결정론적 외부 힘 $g$ 를 갖는 경우, 시스템이 필요한 번역 불변성 및 감쇠 조건을 만족할 경우 피드백 추적자 역시 동일한 주기 $T$ 를 갖는다.
• $\mathbb{R}^n$ 에서 비선형 이동항, 결정론적 외부 힘 $g$, 곱셈형 노이즈를 갖는 반응-확산 방정식은 유일한 ${{\mathcal{D}}}_\lambda$-피드백 추적자를 갖는다.
• 비유계 영역에서 소볼레프 포함의 비콤팩트성에도 불구하고 해에 대한 균일한 尾-추정은 점근적 컴팩트성을 확보하는 데 충분하다.
• 외부 힘의 번역에 대해 추적자 구조는 유지되며, 추적자는 궤도 폐쇄 집합 $\Omega_g$ 또는 $\Omega_g^T$ 에서의 코시클을 통해 동치로 기술될 수 있다.