[논문 리뷰] Sufficient conditions for a pseudosymmetric spacetime to be a perfect fluid spacetime

Peibiao Zhao, Uday Chand De외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 08.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 26인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 일반 상대성 이론에서 가짜 대칭 시공간이 완전한 유체 시공간이 되는 데 충분한 조건을 확립한다. 모든 가짜 대칭 일반화 로버트슨-워커(Generalized Robertson-Walker, GRW) 시공간이 완전한 유체 시공간임을 증명하며, 등각적으로 평탄한 가짜 대칭 시공간이 GRW 시공간임을 보인다. 핵심 결과는 곡률 조건과 에너지-모멘텀 텐서의 구조를 통해 이러한 시공간을 특성화한 것으로, 복사 시대 역학과 진공 먼지 해를 포함한 우주론적 유체 모델에의 응용이 있다.

ABSTRACT

The aim of the present paper is to obtain the condition under which a pseudosymmetric spacetime to be a perfect fluid spacetime. It is proven that a pseudosymmetric generalized Robertson-Walker spacetime is a perfect fluid spacetime. Moreover, we establish that a conformally flat pseudosymmetric spacetime is a generalized Robertson-Walker spacetime. Next, it is shown that a pseudosymmetric dust fluid with constant scalar curvature satisfying Einstein's field equations without cosmological constant is vacuum. Finally, we construct a non-trivial example of pseudosymmetric spacetime.

연구 동기 및 목표

• 가짜 대칭 시공간이 완전한 유체 시공간이 되는 데 충분한 조건을 규명하는 것.
• 일정한 스칼라 곡률을 가진 시공간에서 가짜 대칭의 기하학적 및 물리적 의미를 조사하는 것.
• 가짜 대칭 시공간과 일반화된 로버트슨-워커(GRW) 시공간의 더 넓은 범주 간의 연결 고리를 설정하는 것.
• 아인슈타인의 장 방정식 하에서 가짜 대칭 시공간 내 점성 및 먼지 유체의 거동을 분석하는 것.
• 비자명한 가짜 대칭 시공간 예를 구축하며, 이 시공간은 비회전성 관련 벡터장을 갖는다.

제안 방법

• 가짜 대칭의 초카 정의를 활용하며, 리만 곡률 텐서가 $ R_{hijk,l} = 2v_l R_{hijk} + v_h R_{lijk} + v_i R_{hljk} + v_j R_{hilk} + v_k R_{hijl} $ 를 만족시키며, 비영인 코벡터 $ v_l $ 가 존재함을 전제로 한다.
• 제2정리 B를 적용하여, 시간 방향의 순환 벡터장이 $ v_{i;j} = \phi(g_{ij} + v_i v_j) $ 를 만족시키는 조건으로 GRW 시공간을 특성화한다.
• 리치 항등식과 텐서 수축을 활용하여 곡률, 리치 텐서, 및 벡터장 $ v_i $ 간의 관계를 유도하며, 특히 $ v_i $ 가 리치 텐서의 고유벡터임을 가정한 경우를 중심으로 분석한다.
• 완전한 유체의 경우 에너지-모멘텀 텐서 $ T_{ij} = (\sigma + p)v_i v_j + p g_{ij} $ 와 먼지의 경우 $ T_{ij} = \sigma v_i v_j $ 를 사용하여 아인슈타인 장 방정식 $ R_{ij} - \frac{R}{2}g_{ij} = \kappa T_{ij} $ 를 적용한다.
• 가짜 대칭 GRW 시공간에 대해 상태 방정식 $ \frac{p}{\sigma} = \frac{1}{n-1} - \frac{(n-2)(n\alpha - \beta)}{2\alpha(n-1)^2} $ 를 유도하며, $ n=4 $ 이고 $ 2\phi = 1 - 15f $ 일 때 $ 3p = \sigma $ 가 되어 복사 시대에 해당함을 보인다.
• 비영인 크리스토펠 기호와 곡률 성분을 갖는 4차원 로레츠 시공간 계량을 $ \mathbb{R}^4 $ 에 정의하고, 특정한 $ v_i $ 를 선택하여 정의된 텐서 방정식을 검증함으로써 가짜 대칭성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가짜 대칭 시공간이 완전한 유체 시공간이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 모든 등각적으로 평탄한 가짜 대칭 시공간은 반드시 일반화된 로버트슨-워커 시공간인가?
• RQ3 아인슈타인 장 방정식을 만족하는 가짜 대칭 GRW 시공간의 상태 방정식은 무엇인가?
• RQ4 먼지 유체로 채워진 가짜 대칭 시공간이 진공이 아니게 될 수 있으며, 그 의미는 무엇인가?
• RQ5 일정한 스칼라 곡률과 점성 유체를 포함하는 가짜 대칭 시공간은 비자명한 상태 방정식을 가질 수 있는가?

주요 결과

• 모든 가짜 대칭 일반화 로버트슨-워커(GRW) 시공간은 완전한 유체 시공간이며, 리치 텐서가 $ R_{ij} = \alpha g_{ij} + \beta v_i v_j $ 를 만족하며, 스무스 함수 $ \alpha $ 와 $ \beta $ 를 갖는다.
• 차원 $ n \geq 4 $ 인 등각적으로 평탄한 가짜 대칭 시공간은 일반화된 로버트슨-워커 시공간이며, 리치 텐서가 $ R_{ij} = \alpha g_{ij} + \beta \lambda_i \lambda_j $ 의 형태를 띠며, $ \lambda_i $ 는 단위 시간 방향 벡터임을 보여준다.
• 아인슈타인 장 방정식을 만족하고 우주 상수 없이 작용하는 가짜 대칭 GRW 시공간의 상태 방정식은 $ \frac{p}{\sigma} = \frac{1}{n-1} - \frac{(n-2)(n\alpha - \beta)}{2\alpha(n-1)^2} $ 이며, $ n=4 $ 이고 $ 2\phi = 1 - 15f $ 일 때는 $ 3p = \sigma $ 가 되어 복사 시대에 해당한다.
• 일정한 스칼라 곡률을 가진 먼지 유체로 채워진 가짜 대칭 시공간은 진공이어야 하며, 이는 장 방정식에 의해 에너지 밀도 $ \sigma $ 가 영이 되기 때문이다.
• 일정한 스칼라 곡률과 점성 유체를 포함하는 가짜 대칭 시공간은 등엔트로픽이며, 상태 방정식은 $ p = \frac{4-n}{2(n-1)}\sigma $ 이며, $ n=4 $ 일 때는 $ p=0 $ 이 되어 먼지와 일치한다.
• 비자명한 가짜 대칭 시공간의 예를 $ \mathbb{R}^4 $ 에서 계량 $ ds^2 = (dx^1)^2 + (x^1)^2(dx^2)^2 + (x^2)^2(dx^3)^2 - (dx^4)^2 $ 를 사용하여 구성하였으며, 곡률 텐서가 특정 비회전성 코벡터 $ v_i $ 에 대해 초카의 가짜 대칭 조건을 만족함을 확인하였다.