[논문 리뷰] Sufficient conditions for forward invariance and contractivity in hybrid inclusions using barrier functions

Mohamed Maghenem, Ricardo G. Sanfelice|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 11.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 41인용 수 52

한 줄 요약

이 논문은 분해된 흐름 및 점프 기준과 벡터 경계 함수들을 이용해 하이브리드 포함에 대해 forward invariance, forward pre-invariance, 그리고 contraction을 인증하는 barrier-function 기반의 infinitesimal 조건을 제시하며, 해의 비유일성과 조기 종료를 분해된 흐름과 점프 기준 및 벡터 경계 함수들로 다룬다.

ABSTRACT

This paper studies set invariance and contractivity in hybrid systems modeled by hybrid inclusions using barrier functions. After introducing the notion of a multiple barrier functions, we investigate the tightest possible sufficient conditions to guarantee different forward invariance and contractivity notions of a closed set for hybrid systems with nonuniqueness of solutions and solutions terminating prematurely. More precisely, we consider forward (pre-)invariance of sets, which guarantees solutions to stay in a set, and (pre-)contractivity, which further requires solutions that reach the boundary of the set to evolve (continuously or discretely) towards its interior. Our conditions for forward invariance and contractivity involve infinitesimal conditions in terms of multiple barrier functions. Examples illustrate the results. Keywords: Forward invariance, contractivity, barrier functions, hybrid dynamical systems.

연구 동기 및 목표

• 하이브리드 시스템의 안전성 및 안정성 분석을 위한 집합의 불변성 또는 수축성을 보장하는 동기를 제공한다.
• 하이브리드 포함에 대한 집합 정의 도구로서 barrier 함수 도입을 제시한다.
• forward (pre-)invariance 및 (pre-)contractivity를 보장하는 infinitesimal, 해의 자유 조건을 유도한다.
• 불변/수축성 프레임워크 내에서 해의 비유일성 및 조기 종료를 다룬다.
• 다중 제약을 다루기 위해 벡터 값 후보에 barrier-function 방법을 확장한다.

제안 방법

• 타깃 집합을 정의하는 부정구성 요소가 타깃 집합을 정의하는 벡터 값 함수로서 barrier-function 후보를 정의한다.
• 경계 근처에서 적용 가능하고 여러 barrier 성분으로 분해될 수 있는 forward pre-invariance를 보장하는 infinitesimal 흐름 조건을 제시한다.
• 이산적 전이를 통해 barrier 비부정성(비부정)을 보존하도록 점프 조건을 부과한다.
• 흐름 조건에 필요한 영역을 줄이기 위해 고유성 함수와 교차성을 이용한 완화(완화)를 제공한다.
• 프레임워크를 수축성으로 확장하여 미분 가능하고 국소 Lipschitz인 barrier 함수에 대한 조건을 도출한다.
• 하이브리드 포함에서 barrier-function 접근법을 보여주기 위한 예시를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 barrier 함수들을 사용하여 하이브리드 포함에 대해 forward pre-invariance 또는 forward invariance를 보장하는 충분한 infinitesimal 조건은 무엇인가?
• RQ2 다중 부등식을 통해 정의된 집합을 다루기 위해 벡터 값 후보로 barrier-function 방법을 확장할 수 있는가?
• RQ3 비유일성 및 조기 종료를 invariance/contractivity 분석에 어떻게 수용할 수 있는가?
• RQ4 수렴성에 대응하는 조건은 무엇이며, differentiable와 locally Lipschitz barrier 함수가 그것들에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 적용 범위를 넓히기 위해 제안된 조건들을 (예: 고유성 함수나 교차성)을 통해 어떻게 완화할 수 있는가?

주요 결과

• 완화된 정상성 가정 하에 벡터 barrier-function 후보를 이용한 forward pre-invariance 조건의 집합(Theorem 1)을 제공했다.
• 불변성 조건을 흐름(part)과 점프(parts)으로 분해하고, 기울기(gradient)와 도달 방향(reachable directions)을 포함하는 명시적 부등식을 제시했다.
• 여러 스칼라 제약을 벡터 차원의 barriers로 정의하여 K를 구성하는 경우에도 barrier-function 접근을 확장했다.
• 일반적인 닫힌 집합에 대해 barrier 함수가 연속적으로 미분되거나 국소 Lipschitz일 때의 contractivity 결과(Theorems 5 및 6)를 확립했다.
• 흐름 영역을 축소하고 적용 범위를 넓히는 완화 및 주석(예: 교차성, 고유성 함수 기반 완화)을 제시했다.
• 하이브리드 시스템에서 forward pre-invariance 및 contractivity를 설명하는 다수의 예시를 포함했다.