[논문 리뷰] Sufficient conditions for univalence and study of a class of meromorphic univalent functions

Bappaditya Bhowmik, Firdoshi Parveen|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 17.

Meromorphic and Entire Functions참고 문헌 3인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 단위 원판 내에서 단순 극을 가진 메로모르픽 함수의 단일성에 대한 새로운 충분조건을 수립한다. |U_f(z)| < 1 이면 단일성이 성립함을 증명한다. 이전에 연구된 𝒰_p(λ)보다 더 넓은 가족인 클래스 𝒱_p(λ)를 도입하였으며, 정확한 계수 경계를 유도하였고, 두 번째 테일러 계수의 가변성 영역을 정확히 규명하고 고차 계수에 대한 정확한 경계에 대한 추측을 제기한다.

ABSTRACT

In this article we consider the class $\mathcal{A}(p)$ which consists of functions that are meromorphic in the unit disc $\ID$ having a simple pole at $z=p\in (0,1)$ with the normalization $f(0)=0=f'(0)-1 $. First we prove some sufficient conditions for univalence of such functions in $\ID$. One of these conditions enable us to consider the class $\mathcal{V}_{p}(λ)$ that consists of functions satisfying certain differential inequality which forces univalence of such functions. Next we establish that $\mathcal{U}_{p}(λ)\subsetneq \mathcal{V}_{p}(λ)$, where $\mathcal{U}_{p}(λ)$ was introduced and studied in \cite{BF-1}. Finally, we discuss some coefficient problems for $\mathcal{V}_{p}(λ)$ and end the article with a coefficient conjecture.

연구 동기 및 목표

• 단위 원판 내에서 단순 극을 가진 메로모르픽 함수의 단일성에 대한 충분조건을 향상시키는 것.
• |U_f(z)| < λ 를 만족하는 새로운 클래스 𝒱_p(λ)를 정의하고 연구하는 것.
• 𝒰_p(λ) ⊊ 𝒱_p(λ) ⊊ Σ(p) 를 정확히 포함하는 관계를 확립하는 것. 여기서 Σ(p) 는 𝒜(p) 내의 단일 함수의 집합이다.
• 𝒱_p(λ) 에 속하는 함수의 계수 문제를 연구하며, 특히 테일러 계수의 가변성 영역을 다루는 것.
• 𝒱_p(λ) 내에서 고차 계수에 대한 정확한 경계에 대한 추측을 제안하는 것.

제안 방법

• 𝒜(p) 에 속하는 함수 f 를 F(ζ) = 1/f(1/ζ) 를 통해 𝒫_p 에 사상함으로써, F ∈ 𝒫_p 를 유도하고, 이를 𝒫_p ⊂ 𝒫 와 연결함.
• 논문 [1] 에서 제시된 정리 A 를 F ∈ 𝒫_p 에 적용하여, |F’(ζ) - 1| ≤ 1 이면 F 가 단일적이며, 따라서 f 도 단일적임을 보임.
• z = 1/ζ 를 사용하여 F’(ζ) - 1 = U_f(z) 라는 항등식을 도입함으로써, |U_f(z)| < 1 조건을 단일성의 충분조건으로 변환함.
• f ∈ 𝒱_p(λ) 에 대해 f(z) = z / (1 - (f''(0)/2)z + λz ∫₀^z w(t)dt) 의 표현을 유도함. 여기서 w ∈ ℬ (𝔻 내에서 유계인 해석적 함수들).
• 이 표현을 적용하여 두 번째 테일러 계수 a₂(f) 의 정확한 가변성 영역을 계산함. 결과적으로 |a₂(f) - 1/p| ≤ λp 를 도출함.
• 극한 함수 k_p^λ 를 바탕으로 하여, |a_n(f)| 에 대한 λ, p, n 에 대한 추측을 제안함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 𝒜(p) 내에서 z = p ∈ (0,1) 에 단순 극을 가진 메로모르픽 함수의 단일성에 대한 최적의 충분조건은 무엇인가?
• RQ2 |U_f(z)| < λ 로 정의된 새로운 클래스 𝒱_p(λ) 는 이전에 연구된 클래스 𝒰_p(λ) 와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 𝒱_p(λ) 내 함수의 두 번째 테일러 계수 a₂(f) 의 정확한 가변성 영역은 무엇인가?
• RQ4 𝒰_p(λ) 에서의 |a_n(f)| 에 대한 정확한 경계는 더 큰 클래스 𝒱_p(λ) 에서도 유효하고 정확한가?
• RQ5 극한 함수 k_p^λ 는 𝒱_p(λ) 내에서 고차 계수에 대한 정확한 경계를 추측하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 조건 |U_f(z)| < 1 은 𝒜(p) 에 속하는 f 에 대해 단일성을 보장하는 충분조건이며, 이전의 경계 ((1−p)/(1+p))² 보다 향상된 것이다.
• 클래스 𝒱_p(λ) 는 𝒰_p(λ) 보다 엄격히 더 넓은 집합이며, 𝒰_p(λ) ⊊ 𝒱_p(λ) ⊊ Σ(p) 를 만족함. 이는 𝒰_p(λ) 에 속하지 않지만 𝒱_p(λ) 에 속하는 함수를 구성함으로써 입증됨.
• 두 번째 테일러 계수 a₂(f) 의 정확한 가변성 영역은 |a₂(f) - 1/p| ≤ λp 인 닫힌 원판이며, f_θ(z) = z / (1 - (z/p)(1 + λp²e^{iθ}) + λe^{iθ}z²) 에서 등호가 성립함.
• |a₂(f)| ≤ 1/p + λp 경계는 정확하며, k_p^λ(z) = -pz / ((z−p)(1−λpz)) 에서 등호가 성립함.
• 함수 k_p^λ 는 클래스 𝒱_p(λ) 에 대해 극한 함수이며, 다음과 같은 추측을 제기한다: 모든 n ≥ 3 에 대해 |a_n(f)| ≤ (1−λ^n p^{2n}) / (p^{n−1}(1−λp²)) 이며, 등호는 k_p^λ 에서 성립함.