[논문 리뷰] Sum-of-Squares Decomposition and Augmented Vandermonde Decomposition of Strong Hankel Tensors: Theory and Algorithms

Weiyang Ding, Liqun Qi외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 11.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 12인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 강한 한켈 텐서에 대한 상속 성질을 수립하여, 스케일링을 통한 낮은 차수의 한켈 텐서를 높은 차수로 올릴 때, 양의 준정부호성, 정부호성 및 제곱합(SOS) 구조가 유지됨을 증명한다. 명시적인 제곱합 분해와 관련 한켈 행렬을 이용한 극값 H-고유값의 경계를 제공하며, 텐서의 양의 정부호성 분석을 위한 이론적이고 알고리즘 기반의 프레임워크를 제시한다.

ABSTRACT

In this paper, we show that if a lower-order Hankel tensor is positive semi-definite (or positive definite, or negative semi-definite, or negative definite, or SOS), then its associated higher-order Hankel tensor with the same generating vector, where the higher order is a multiple of the lower order, is also positive semi-definite (or positive definite, or negative semi-definite, or negative definite, or SOS, respectively). Furthermore, in this case, the extremal H-eigenvalues of the higher order tensor are bounded by the extremal H-eigenvalues of the lower order tensor, multiplied with some constants. Based on this inheritance property, we give a concrete sum-of-squares decomposition for each strong Hankel tensor. Then we prove the second inheritance property of Hankel tensors, i.e., a Hankel tensor has no negative (or non-positive, or positive, or nonnegative) H-eigenvalues if the associated Hankel matrix of that Hankel tensor has no negative (or non-positive, or positive, or nonnegative, respectively) eigenvalues. In this case, the extremal H-eigenvalues of the Hankel tensor are also bounded by the extremal eigenvalues of the associated Hankel matrix, multiplied with some constants. The third inheritance property of Hankel tensors is raised as a conjecture.

연구 동기 및 목표

• 다른 차수와 정부호성 유형 간에 한켈 텐서의 이론적 상속 성질을 수립하는 것.
• 강한 한켈 텐서에 대한 명시적인 제곱합 분해 방법을 개발하는 것.
• 낮은 차수의 대응 텐서와 관련 한켈 행렬을 이용하여 높은 차수의 한켈 텐서의 극값 H-고유값을 경계하는 것.
• 텐서의 정부호성과 그에 관련된 한켈 행렬의 정부호성 간의 관계를 조사하는 것.
• 미래 연구를 위한 한켈 텐서의 제3의 상속 성질에 대한 추측을 제안하는 것.

제안 방법

• 낮은 차수의 텐서에서 유도된 생성 벡터를 반복하여 높은 차수의 텐서를 구성함으로써, 양의 정부호성 및 SOS 성질이 상속됨을 한켈 텐서의 구조를 활용해 증명한다.
• 낮은 차수의 텐서로부터 SOS 구조의 상속성을 이용하여 강한 한켈 텐서에 대한 명시적인 제곱합 분해를 유도한다.
• 높은 차수의 텐서의 극값 H-고유값을 낮은 차수의 텐서의 극값 H-고유값의 스칼라 배수로 경계한다.
• 관련 한켈 행렬의 스펙트럼 성질을 분석하여 해당 한켈 텐서의 정부호성과 고유값 경계를 추론한다.
• 텐서의 H-고유값 부호와 그에 관련된 한켈 행렬의 고유값 부호를 연결하는 두 번째 상속 성질을 도입한다.
• 세 번째 상속 성질에 대한 추측을 제안하여, 한켈 텐서 내에서 더 깊은 스펙트럼 상관관계를 일반화할 수 있음을 시사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 낮은 차수의 한켈 텐서가 양의 준정부호일 경우, 동일한 생성 벡터를 가진 높은 차수의 확장 텐서도 양의 준정부호가 되는가?
• RQ2 낮은 차수의 성질을 이용하여 어떤 강한 한켈 텐서에 대해서도 명시적인 제곱합 분해를 구성할 수 있는가?
• RQ3 높은 차수의 한켈 텐서의 극값 H-고유값은 그 낮은 차수의 대응 텐서의 극값 H-고유값과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 관련 한켈 행렬의 정부호성이 한켈 텐서의 정부호성과 동일하게 유지되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 한켈 텐서와 그에 관련된 한켈 행렬 간의 스펙트럼 관계는 어떤 성격을 가지며, 이를 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 낮은 차수의 양의 준정부호 한켈 텐서는 동일한 생성 벡터를 가진 높은 차수의 확장 텐서도 양의 준정부호임을 보장한다.
• 높은 차수의 텐서의 극값 H-고유값은 낮은 차수의 텐서의 고유값에 일정한 요소를 곱한 값으로 경계된다.
• 낮은 차수의 상속 성질에 기반하여 모든 강한 한켈 텐서에 대해 명시적인 제곱합 분해를 구성할 수 있다.
• 관련 한켈 행렬의 고유값 부호는 한켈 텐서의 H-고유값 부호를 결정하며, 이는 두 번째 상속 성질을 수립한다.
• 한켈 텐서의 극값 H-고유값은 관련 한켈 행렬의 고유값에 일정한 요소를 곱한 값으로 경계된다.
• 세 번째 상속 성질은 추측으로 제안되며, 이는 한켈 텐서 내에서 더 깊은 스펙트럼 연결성을 시사한다.