[논문 리뷰] Sum of Squares Decompositions and Rank Bounds for Biquadratic Forms

Liqun Qi, Chunfeng Cui외 1명|arXiv (Cornell University)|2026. 01. 08.

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한 줄 요약

이 논문은 이차형식의 PSD 및 SOS 특성을 규정하고, PSD x-대칭 형식은 항상 SOS임을 입증하며, SOS 분해에 대한 명시적 하한/상한 및 SOS 등급에 대한 계산적 방법을 제공한다.

ABSTRACT

We study SOS properties of biquadratic forms. For the class of partially symmetric biquadratic forms, we establish necessary and sufficient conditions for positive semi-definiteness and prove that every PSD partially symmetric biquadratic form is a sum of squares of bilinear forms. This extends the known result for fully symmetric biquadratic forms. We describe an efficient computational procedure for constructing SOS decompositions, exploiting the Kronecker-product structure of the associated matrix representation. We introduce simple biquadratic forms. For $m \ge 2$, we present a $m imes 2$ PSD biquadratic form and show that it can be expressed as the sum of $m+1$ squares, but cannot be expressed as the sum of $m$ squares. This provides a lower bound for sos rank of $m imes 2$ biquadratic forms, and shows that previously proved results that a $2 imes 2$ PSD biquadratic form can be expressed as the sum of three squares, and a $3 imes 2$ PSD biquadratic form can be expressed as the sum of four squares, are tight. We also present an $3 imes 3$ SOS biquadratic form, which can be expressed as the sum of six squares, but not the sum of five squares.We present a $2 imes 2$ PSD biquadratic form, and show that it can be expressed as the sum of three squares, but cannot be expressed as the sum of two squares. Furthermore, we present a $3 imes 2$ PSD biquadratic form, and show that it can be expressed as the sum of four squares, but cannot be expressed as the sum of three squares. These show that previously proved results that a $2 imes 2$ PSD biquadratic form can be expressed as the sum of three squares, and a $3 imes 2$ PSD biquadratic form can be expressed as the sum of four squares, are tight. Moreover, we establish a universal upper bound SOS-rank$(P) \le mn-1$ for any SOS biquadratic form, which improves the trivial bound $mn$ and is tight in small dimensions.

연구 동기 및 목표

• 양의 준정부호 biquadratic 형식과 이들의 SOS 표현을 조사한다.
• 완전 대칭에서 부분 대칭(x-대칭) 형식으로 알려진 SOS 결과를 확장한다.
• Kronecker-곱 구조를 활용한 명시적 SOS 분해를 구성하는 계산 절차를 개발한다.

제안 방법

• monic 및 non-monic x-대칭 biquadratic 형식과 관련 대칭 biquadratic 텐서를 정의한다.
• PSD의 필요충분조건을 행렬 부등식 I+B-A ≽ 0 및 I+B+(m-1)A ≽ 0로 도출한다.
• 모든 PSD 모닉 x-대칭 biquadratic 형식은 PSD-M 행렬로부터 SOS 분해를 구성하여 항상 SOS임을 증명한다.
• 구조적 SOS-랭크 경계: SOS-rank(P) ≤ rank(R) + (m−1) rank(Q) with Q = I_n + B − A and R = I_n + B + (m−1)A.
• 구조적 M = I_m ⊗ Q + (1/m)(1_m 1_m^T) ⊗ (R−Q) 및 그 고유값 분해를 이용하여 SOS 분해를 얻는 계산 방법을 제시한다.
• 필요한 경우 모닉 케이스로 축소하고 변수 스케일링을 적용하여 일반 x-대칭 형식으로 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PSD 모닉 x-대칭 biquadratic 형식이 또한 SOS인 조건은 무엇인가?
• RQ2 PSD x-대칭 biquadratic 형식은 일반적으로 (모닉 케이스를 넘어서) SOS 분해를 허용하는가?
• RQ3 (m, n)의 작은 차원 및 일반 차원에서 SOS-랭크의 엄밀한 경계는 무엇인가?
• RQ4 크로네커-곱 구조를 활용하여 명시적 SOS 분해를 구성하는 효율적 계산 절차를 설계할 수 있는가?

주요 결과

• PSD 모닉 x-대칭 biquadratic 형식은 항상 이중항들의 제곱의 합으로 표현된다.
• PSD x-대칭 형식은 필요충분조건으로 행렬 부등식 I+B−A ≽ 0 및 I+B+(m−1)A ≽ 0 를 만족한다.
• 모닉 x-대칭 형식의 SOS-랭크 경계는 SOS-rank(P) ≤ rank(R) + (m−1) rank(Q) 이다, 여기서 Q = I_n + B − A 및 R = I_n + B + (m−1)A.
• 모든 SOS 이차형식에 대해 보편적인 상한 SOS-rank(P) ≤ mn − 1 이 성립하며, 자명한 mn 경계를 개선한다.
• 크로네커-곱 구조를 활용하여 SOS 분해를 계산하는 명시적이고 효율적인 절차가 제공되며, SOS 분해의 랭크가 rank(M)과 같아진다.
• 하한 구성은 소형 차원에서 SOS-랭크 결과의 타당성을 보여주며(예: m×2 형식은 최소한 m+1개의 제곱 필요; 구체적 3×3 예시는 여섯 개의 제곱 필요).