[논문 리뷰] Sum of squares lower bounds for refuting any CSP

Pravesh K. Kothari, Ryuhei Mori외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 17.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 41인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 무작위 제약 만족 문제(CSPs)에 대한 합의제곱(SOS) 하한을 확립하며, 만일 술어 $P$가 만족할 수 있는 할당들 위에서 $t$-wise 균일 분포를 지원할 경우, 제약 밀도 $\Delta \gg 1$일지라도 degree $\Theta(n / \Delta^{2/(t-1)} \log \Delta)$인 SOS 알고리즘이 무작위 $\mathrm{CSP}(P)$의 인스턴스를 반박하지 못한다는 것을 보여준다. 이 결과는 제약 밀도, SOS degree(따라서 실행 시간), 반박 강도 사이의 날카로운 세 가지 요소 간의 상호관계를 나타내며, 이는 이전의 하한을 통합하고 최근의 알고리즘 상한과 정확히 일치한다.

ABSTRACT

Let $P:\{0,1\}^k o \{0,1\}$ be a nontrivial $k$-ary predicate. Consider a random instance of the constraint satisfaction problem $\mathrm{CSP}(P)$ on $n$ variables with $Δn$ constraints, each being $P$ applied to $k$ randomly chosen literals. Provided the constraint density satisfies $Δ\gg 1$, such an instance is unsatisfiable with high probability. The \emph{refutation} problem is to efficiently find a proof of unsatisfiability. We show that whenever the predicate $P$ supports a $t$-\emph{wise uniform} probability distribution on its satisfying assignments, the sum of squares (SOS) algorithm of degree $d = Θ(\frac{n}{Δ^{2/(t-1)} \log Δ})$ (which runs in time $n^{O(d)}$) \emph{cannot} refute a random instance of $\mathrm{CSP}(P)$. In particular, the polynomial-time SOS algorithm requires $\widetildeΩ(n^{(t+1)/2})$ constraints to refute random instances of CSP$(P)$ when $P$ supports a $t$-wise uniform distribution on its satisfying assignments. Together with recent work of Lee et al. [LRS15], our result also implies that \emph{any} polynomial-size semidefinite programming relaxation for refutation requires at least $\widetildeΩ(n^{(t+1)/2})$ constraints. Our results (which also extend with no change to CSPs over larger alphabets) subsume all previously known lower bounds for semialgebraic refutation of random CSPs. For every constraint predicate~$P$, they give a three-way hardness tradeoff between the density of constraints, the SOS degree (hence running time), and the strength of the refutation. By recent algorithmic results of Allen et al. [AOW15] and Raghavendra et al. [RRS16], this full three-way tradeoff is \emph{tight}, up to lower-order factors.

연구 동기 및 목표

• 제약 만족 문제(CSPs)의 무작위 인스턴스를 반박하는 데 있어 합의제곱(SOS) 계층의 한계를 이해하는 것.
• 기저 술어 $P$의 구조적 성질에 기반하여 무작위 CSP를 반박하기 위해 필요한 최소 SOS 차수를 특성화하는 것.
• 제약 밀도 $\Delta$, SOS 차수 $d$, 반박 강도(예: $\delta$-반박 포함) 사이의 날카로운 세 가지 요소 간의 상호관계를 확립하는 것.
• 이전의 무작위 CSP에 대한 SOS 하한을 하나의 술어 기반 프레임워크로 통합하고 일반화하는 것.

제안 방법

• 저자들은 저차수의 모멘트 제약 조건을 모두 만족시키지만 만족할 수 있는 할당들에 대해 높은 값을 할당하는 의사기대값을 구성함으로써, SOS 알고리즘이 무작위 CSP를 반박하는 능력을 분석한다.
• 술어 $P$의 만족할 수 있는 할당 분포에 대해 $t$-wise 균일성의 개념을 정의하여, 해 공간의 대칭성과 구조를 캡처한다.
• 할당에 대한 의사분포의 확률적 구성 방법을 사용하여, $P$가 만족할 수 있는 할당들 위에서 $t$-wise 균일 분포를 지원할 경우, SOS 알고리즘이 무작위 인스턴스를 반박하지 못한다는 것을 보여준다.
• 핵심 기술 도구는 요소 그래프의 부분그래프에 대한 수익 기반 분석으로, 반박을 위협할 수 있는 작은 비어있지 않은 $\tau$-부분그래프의 수를 제한한다.
• 수익 $R(H)$와 독립성 $I(H)$를 기반으로 한 크레딧 시스템을 사용하여, 이웃 클로처가 직접 이웃을 초과하는 약수의 수에 대한 경계를 유도한다.
• 최종적으로, 의사기대값 하에서 만족할 수 있는 약수의 비율이 $1 - \delta - \epsilon$ 이상임을 보여주며, 여기서 $\epsilon = 2^{\log n / (2 \log \Delta)} / \sqrt{n}$ 이므로 $(\delta + o(1))$-반박에 실패함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 술어 $P$를 가진 무작위 CSP 인스턴스를 반박하기 위해 필요한 최소 SOS 차수는 무엇인가?
• RQ2 술어 $P$의 만족할 수 있는 할당들의 구조적 대칭성—$t$-wise 균일성으로 측정—은 반박의 난이도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 만일 $P$가 $t$-wise 균일 분포를 $\delta$-근접하여 지원할 경우, SOS 알고리즘이 무작위 CSP에 대해 $\delta$-반박을 달성할 수 있는가?
• RQ4 제약 밀도 $\Delta$, SOS 차수 $d$, 반박 강도 $\delta$ 사이에 날카로운 세 가지 요소 간의 상호관계가 존재하는가?
• RQ5 이러한 SOS 하한은 반박에 대해 알려진 최고의 알고리즘 상한과 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 만족할 수 있는 할당들 위에서 $t$-wise 균일 분포를 지원하는 비자명한 $k$-항 술어 $P$에 대해, degree $d = \Theta(n / \Delta^{2/(t-1)} \log \Delta)$인 SOS 알고리즘은 $\Delta n$개의 약수를 가진 $\mathrm{CSP}(P)$의 무작위 인스턴스를 반박하지 못한다.
• 다항식 시간 SOS 알고리즘은 $P$가 $t$-wise 균일 분포를 지원할 경우, 무작위 $\mathrm{CSP}(P)$ 인스턴스를 반박하기 위해 $\widetilde{\Omega}(n^{(t+1)/2})$개의 약수를 필요로 한다.
• 만일 $P$가 $t$-wise 균일 분포를 $\delta$-근접하여 지원할 경우, degree-$\Theta(n / \Delta^{2/(t-1)} \log \Delta)$인 SOS 알고리즘은 무작위 인스턴스에 대해 $(\delta + o(1))$-반박을 하지 못한다.
• 최근의 알고리즘 결과에 따르면 동일한 세 가지 요소 간의 상호관계가 효율적인 알고리즘에 의해 달성 가능하므로, 이 하한은 하위항 수준의 요소를 제외하고 날카로운 하한이다.
• 이러한 결과는 알파벳이 더 큰 CSP에 대해서도 매개변수에 변화 없이 확장되며, 적절한 일반화된 리터럴을 사용한다.
• 이 작업은 반박을 위한 임의의 다항식 크기의 정수계획법 이완도 $\widetilde{\Omega}(n^{(t+1)/2})$개의 약수를 필요로 하며, SOS 하한과 정확히 일치한다.