[논문 리뷰] Sum of squares of degrees in a graph

Bernardo M. Ábrego, Silvia Fernández‐Merchant외 2명|arXiv (Cornell University)|2008. 08. 16.

Graph theory and applications참고 문헌 17인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 v개 정점과 e개 간선을 가진 단순 그래프에서 제곱 차수의 합의 최댓값을 구하는 오랫동안 남아있던 문제를 해결한다. 비스타르 또는 비완전 그래프 중 어느 것이 최댓값을 주는지 규명하고, 둘 다 최적임이 되는 정확한 조건을 펠의 방정식을 통해 제시하며, 각 (v,e) 쌍에서 최댓값을 달성하는 모든 그래프를 특성화한다.

ABSTRACT

Let $\G(v,e)$ be the set of all simple graphs with $v$ vertices and $e$ edges and let $P_2(G)=\sum d_i^2$ denote the sum of the squares of the degrees, $d_1, >..., d_v$, of the vertices of $G$. It is known that the maximum value of $P_2(G)$ for $G \in \G(v,e)$ occurs at one or both of two special graphs in $\G(v,e)$--the \qs graph or the \qc graph. For each pair $(v,e)$, we determine which of these two graphs has the larger value of $P_2(G)$. We also determine all pairs $(v,e)$ for which the values of $P_2(G)$ are the same for the \qs and the \qc graph. In addition to the \qs and \qc graphs, we find all other graphs in $\G(v,e)$ for which the maximum value of $P_2(G)$ is attained. Density questions posed by previous authors are examined.

연구 동기 및 목표

• v개 정점과 e개 간선을 가진 단순 그래프에서 제곱 차수의 합 P₂(G)의 최댓값을 규명하는 데 있어 열려 있는 문제를 해결하는 것.
• 각 (v,e)에 대해 비스타르 또는 비완전 그래프 중 어느 것이 P₂(G)의 최댓값을 달성하는지 규명하는 것.
• 단지 두 특수 그래프 외에도 G(v,e) 내에서 최댓값 P₂(G)를 달성하는 모든 그래프를 특성화하는 것.
• 밀도 문제를 분석하고, 비스타르 및 비완전 그래프가 동일한 최댓값 P₂(G)를 제공하는 모든 (v,e) 쌍을 규명하는 것.

제안 방법

• G ∈ G(v,e)에서의 P₂(G) = Σdᵢ²를 정점 차수의 제곱합으로 정의한다.
• 두 극한 그래프인 비완전 그래프 QC(v,e)와 비스타르 그래프 QS(v,e)를 도입하여 P₂(G)를 최대화하는 후보로 삼는다.
• 보완성 관계를 사용: QS(v,e)는 QC(v,e′)의 보완이며, 여기서 e′ = C(v,2) − e 이다. 이를 통해 S(v,e)와 C(v,e)를 연결한다.
• 정수 매개변수 k와 j에 기반한 폐쇄형 표현식을 유도한다. 여기서 e = C(k+1,2) − j, 1 ≤ j ≤ k.
• 특히 펠의 방정식의 해를 활용한 수론적 기법을 적용하여 C(v,e)와 S(v,e) 간의 등가성 및 지배 조건을 정확히 규명한다.
• 중점값 m(v) = ½C(v,2)와 C(k₀,2) ≤ m < C(k₀+1,2)를 만족하는 k₀(v)를 사용하여 간선 수의 중점 주변 대칭 구간으로 분석을 분할한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 (v,e)에 대해 비스타르 또는 비완전 그래프 중 어느 것이 제곱 차수의 합을 더 크게 만드는가?
• RQ2 어느 (v,e) 쌍에서 비스타르 및 비완전 그래프의 제곱 차수 합이 동일한가?
• RQ3 G(v,e) 내에서 P₂(G)의 최댓값을 달성하는 모든 그래프는 무엇인가?
• RQ4 비스타르 및 비완전 그래프가 동시에 최댓값 P₂(G)를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ5 펠의 방정식의 해는 최적의 (v,e) 쌍의 밀도 및 분포를 어떻게 특성화하는가?

주요 결과

• G ∈ G(v,e)에서 P₂(G)의 최댓값은 항상 비완전 그래프 QC(v,e) 또는 비스타르 그래프 QS(v,e), 또는 둘 다에서 달성된다.
• e < m − v/2 이면 비스타르 그래프 QS(v,e)가 최댓값을 달성하고, e > m + v/2 이면 비완전 그래프 QC(v,e)가 이를 달성한다.
• 2b₀ ≥ k₀ 이면, b₀ = m − C(k₀,2) 이고, e ≤ m 에서는 비스타르가 지배하고, e ≥ m 에서는 비완전 그래프가 지배하며, 등호는 오직 e = m 에서만 성립한다.
• 비완전 그래프 QC(v,e)와 비스타르 그래프 QS(v,e)가 동일한 최댓값 P₂(G)를 제공하는 (v,e) 쌍은 무한히 많으며, 이는 펠의 방정식 V² − 2J² = −1의 해로 특성화된다.
• 펠의 방정식의 특정 해는 무한한 (v,k,e) 가족을 유도하며, 이들에서는 정확히 3개 또는 4개의 최적 차수 시퀀스가 존재한다. 예를 들어 (v,k,e) = (22,15,105), (121,85,3570), 및 (12,25,52,69)는 4개의 최적 분할을 가지는 경우이다.
• 관련된 펠의 방정식의 모든 해는 필수 조건 k = k₀(v)를 만족하여 유도된 그래프가 실제로 G(v,e) 내에서 극한임을 보장한다.