[논문 리뷰] Sum-of-Squares Tensors and their Sum-of-Squares Rank

Haibin ChenGuoyin Li, Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 14.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 26인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 합의 제곱(SOS) 텐서와 그들의 SOS-랭크를 조사하며, B0-텐서, H-텐서, 양의 준정적 Z-텐서의 절대 텐서와 같은 다양한 구조적 짝수차 대칭 텐서에 대한 SOS 성질을 확립한다. 지수에 제한이 있는 텐서에 대해 SOS-랭크와 SOS-너비에 대한 더 낫게 조정된 경계를 제공하며, 양의 준정적 행렬에 대한 랭크 최적화 문제와 SOS-랭크를 연결한다.

ABSTRACT

A fundamental and challenging problem in dealing with tensors is to determine its positive semidefiniteness which is known to be an NP-hard problem in general. An important class of tractable positive semi-definite tensors is the sum-of-squares (SOS) tensors. SOS tensors have a close connection with SOS polynomials, which are very important in polynomial theory and polynomial optimization. In this paper, we examine SOS properties of classes of structured tensors, and study the SOS-rank of SOS tensors. We first establish SOS properties of various even order symmetric structured tensors available in the literature. These include weakly diagonally dominated tensors, B0-tensors, double B-tensors, quasi-double B0-tensors, MB0-tensors, H-tensors, and absolute tensors of positive semidefinite Z-tensors. We also examine the SOS-rank for SOS tensors and the SOS-width for SOS tensor cones. The SOS-rank provides the minimal number of squares in the sums-of-squares decomposition for the SOS tensors, and, for a specific SOS tensor cone, its SOS-width is the maximum possible SOSrank for all the tensors in this cone. We first deduce an up bound for general SOS tensors and the SOS-width for general SOS tensor cone using the known results in the literature of polynomial theory. Then, we provide an explicit sharper estimate for SOS-rank of SOS tensors with bounded exponent and identify the SOS-width for the tensor cone consisting of all SOS tensors with bounded exponent. Finally, we also show that the SOS-rank of an SOS tensor is equal to the optimal value of a related rank optimization problem over positive semi-definite matrix constraint.

연구 동기 및 목표

• 약한 대각지배, B0, 더블 B, 준더블 B0, MB0, H, 그리고 양의 준정적 Z-텐서의 절대 텐서를 포함한 구조적 짝수차 대칭 텐서의 합의 제곱(SOS) 성질을 규명하는 것.
• SOS 텐서의 SOS-랭크를 정의하고 분석하는 것. 이는 분해에 포함된 제곱의 최소 수를 측정한다.
• SOS 텐서 콘의 SOS-너비를 도입하고 계산하는 것. 이는 콘에 속한 모든 텐서들 중 최대 SOS-랭크를 나타낸다.
• 지수에 제한이 있는 텐서에 대해 SOS-랭크에 대한 더 낫게 조정된 상한 경계를 확립하는 것. 이는 일반 문헌 결과를 향상시킨다.
• 텐서의 SOS-랭크가 양의 준정적 행렬 제약 조건 하에 랭크 최소화 문제의 최적값과 어떻게 연결되는지 밝히는 것.

제안 방법

• 다항식 이론에서 알려진 결과를 활용하여 일반 SOS 텐서의 SOS-랭크와 일반 SOS 텐서 콘의 SOS-너비에 대한 상한 경계를 유도한다.
• 구조적 제약 조건을 활용하여 지수에 제한이 있는 SOS 텐서의 SOS-랭크에 대해 명시적이고 더 날카운 추정치를 제공한다.
• 분석적 추정 기법을 통해 지수에 제한이 있는 모든 SOS 텐서의 콘에 대한 SOS-너비를 특성화한다.
• SOS-랭크를 양의 준정적 행렬에 제약 조건이 있는 랭크 최소화 문제의 최적값으로 공식화한다.
• 대수학적 및 볼록 분석 도구를 사용하여 SOS 분해와 텐서 콘을 분석한다.
• 기존의 SOS 다항식에 대한 결과를 응용하여, 특히 구조적 클래스에 대해 텐서 설정으로의 통찰을 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 구조적 짝수차 대칭 텐서들이 반드시 합의 제곱(SOS) 텐서가 되는가?
• RQ2 지수에 제한이 있는 SOS 텐서에 대해 SOS-랭크에 대해 가능한 가장 날카운 상한 경계는 무엇인가?
• RQ3 특히 지수에 제한이 있는 SOS 텐서의 콘에 대해, 텐서 콘의 SOS-너비를 어떻게 명시적으로 결정할 수 있는가?
• RQ4 텐서의 SOS-랭크와 양의 준정적 행렬에 대한 랭크 최적화 문제 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 SOS-랭크는 제약 조건이 있는 행렬 최적화 문제의 최적값으로 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• 약한 대각지배, B0, 더블 B, 준더블 B0, MB0, H-텐서, 그리고 양의 준정적 Z-텐서의 절대 텐서를 포함한 여러 구조적 텐서 클래스가 합의 제곱 텐서임을 증명한다.
• 지수에 제한이 있는 SOS 텐서의 SOS-랭크에 대해 명시적이고 더 날카운 상한 경계가 도출되었으며, 일반 문헌의 경계를 향상시킨다.
• 지수에 제한이 있는 모든 SOS 텐서의 콘에 대한 SOS-너비가 명시적으로 규명되었으며, 이는 해당 콘에서 달성 가능한 최대 SOS-랭크를 나타낸다.
• 모든 SOS 텐서의 SOS-랭크는 양의 준정적 행렬 제약 조건 하에 랭크 최소화 문제의 최적값과 동일하다.
• SOS-랭크와 SOS-너비 개념이 다항식 최적화 이론과 공식적으로 연결되었으며, SOS 다항식에서의 결과를 텐서로 확장한다.
• 기존의 다항식 이론에서 알려진 결과를 활용하여 SOS-랭크와 SOS-너비에 대한 이론적 경계를 확립하였으며, 향후 알고리즘 개발을 위한 기반을 마련한다.