[논문 리뷰] Summability estimates on transport densities with dirichlet regions on the boundary via symmetrization techniques

Samer Dweik, Filippo Santambrogio|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 02.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 내부 원천 $f^+ \in L^p(\Omega)$에서 경계 $\partial\Omega$로 질량이 이동하는 최적 운반 문제에서 운반 밀도 $\sigma$에 대한 $L^p$ 합성가능성 추정을 수립한다. 대칭화 기법을 사용하여, $\Omega$가 균일한 외부 구 조건을 만족할 경우 $\sigma \in L^p\left(\Omega\right)$임을 증명하며, 이는 이전 결과를 $p = \infty$ 및 볼록 도메인 이외의 영역으로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we consider the mass transportation problem in a bounded domain $Ω$ where a positive mass f + in the interior is sent to the boundary $\partialΩ$, appearing for instance in some shape optimization problems, and we prove summability estimates on the associated transport density $σ$, which is the transport density from a diffuse measure to a measure on the boundary f -- = P \# f + (P being the projection on the boundary), hence singular. Via a symmetrization trick, as soon as $Ω$ is convex or satisfies a uniform exterior ball condition, we prove L p estimates (if f + $\in$ L p, then $σ$ $\in$ L p). Finally, by a counterexample we prove that if f + $\in$ L $\infty$ $(Ω)$ and f -- has bounded density w.r.t. the surface measure on $\partialΩ$, the transport density $σ$ between f + and f -- is not necessarily in L $\infty$ $(Ω)$, which means that the fact that f -- = P \# f + is crucial.

연구 동기 및 목표

• 내부 원천 $f^+$에서 경계 $\partial\Omega$로 질량이 운반될 때 운반 밀도 $\sigma$의 합성가능성 추정을 수립하기 위해.
• 특히 $p \geq d/(d-1)$일 때, $f^-$가 특이적(즉, $\partial\Omega$에 지지됨)일 경우 $\sigma$가 $f^+$의 $L^p$ 적분 가능성성을 상속하는지 조사하기 위해.
• 기존의 $L^p$ 결과를 볼록 도메인을 초월하여 균일한 외부 구 조건을 만족하는 도메인으로 확장하기 위해.
• $f^{-} = P_\# f^+$ 조건이 필수적인지 명확히 하기 위해, $f^+ \in L^\infty$ 이지만 $\sigma \notin L^\infty$인 반례를 구성하기 위해.

제안 방법

• 도메인 $\Omega$ 내에서 운반 밀도 $\sigma$를, $f^+$가 $\partial\Omega$를 기준으로 반사된 대칭 도메인에서의 운반 밀도와 연결하기 위해 대칭화 기법을 활용하기 위해.
• 다각형 또는 원형 다각형 도메인의 경우, $\sigma$가 대칭 운반 밀도를 $\Omega$에 제한한 것과 동일하다는 사실을 이용하기 위해.
• 근사 기법을 적용하여 원형 다각형에서 일반적인 외부 구 조건을 만족하는 도메인으로 결과를 확장하기 위해.
• 경계 항의 적분 및 부호 분석을 통해 $\sigma$의 $L^p$ 노름을 제어하기 위해.
• $\mathbb{R}^2$에서 사다리꼴 원천과 경계 세그먼트 목표를 갖는 반례를 구성하여, $f^+ \in L^\infty$ 이더라도 $\sigma \notin L^\infty$임을 보여주기 위해.
• 모서리 근처에서의 $\sigma$의 국소적 행동을 각도와 거리에 대한 기하학적 추정을 통해 분석하여, 반례에서 $\sigma \sim r^{-1/2}$임을 도출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 도메인 $\Omega$에 어떤 기하학적 조건이 성립할 경우, $f^+ \in L^p(\Omega)$이면 $\sigma \in L^p(\Omega)$가 성립하는가? (단, $f^{-} = P_\# f^+$일 때)
• RQ2 적절한 도메인 정규성 조건 하에서 $\sigma$의 $L^p$ 합성가능성이 $p = \infty$로까지 확장될 수 있는가?
• RQ3 $f^{-}$가 특이적일 경우, $\sigma$가 $f^+$의 $L^p$ 정규성을 상속하기 위해 조건 $f^{-} = P_\# f^+$가 필수적인가?
• RQ4 $f^+ \in L^\infty$ 이고 $f^{-}$가 낮은 차원 집합에 지지될 경우, $\sigma$의 정확한 합성가능성 임계값은 무엇인가?
• RQ5 특히 모서리 근처에서의 도메인 기하학은 $\sigma$의 국소 적분 가능성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• $p \in [1, \infty]$인 모든 $p$에 대해, $f^+ \in L^p(\Omega)$ 이고 $\Omega$가 균일한 외부 구 조건을 만족하면 운반 밀도 $\sigma$는 $L^p(\Omega)$에 속한다.
• 이 결과는 $p = \infty$에 대해서도 성립하며, 이는 이전에 이러한 기하학적 가정 하에서 증명되지 않았다.
• 대칭화 기법을 통해 $L^p$ 추정을 볼록 도메인에서 외부 구 조건을 만족하는 더 넓은 도메인 클래스로 확장할 수 있다.
• $\mathbb{R}^2$에서의 반례는 $f^+ \in L^\infty(\Omega)$ 이고 $f^{-}$가 $\partial\Omega$에서 유계 밀도를 갖더라도 $\sigma$가 $L^\infty(\Omega)$에 속하지 않을 수 있음을 보여주며, $f^{-} = P_\# f^+$ 조건의 필수성을 입증한다.
• 반례에서 $\sigma$는 모서리 $(2,0)$ 근처에서 $\sigma(B_{2r}) \gtrsim r^{3/2}$를 만족하며, 이는 $\sigma \notin L^\infty$ 이고 $\sigma \notin L^4$임을 의미한다.
• 정밀한 분석을 통해 $\sigma \in L^p(\Delta_1)$이 되는 것은 $p < 3$일 때에만 성립함을 보이며, 이는 $f^+ \in L^\infty$ 이고 $d=2$임에도 불구하고 목표의 차원성이 정규성에 영향을 미친다는 것을 시사한다.