[논문 리뷰] Summation Identities Involving Padovan and Perrin Numbers

Kunle Adegoke|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 07.

Advanced Mathematical Theories and Applications참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특성 다항식 $x^3 - x - 1$의 근의 대수적 성질을 이용하여 패도반 수열과 페린 수열에 대한 새로운 이항 및 이중 이항 합항 항등식을 유도한다. 이 다항식의 근인 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$와 그 대칭 함수를 활용하여, 등차수열의 첨자를 가진 패도반 수와 페린 수의 합에 대한 닫힌 형태의 항등식을 수립하였으며, 행렬식 기반 표현과 생성함수를 포함하여 이 수열들에 대한 기존의 대수적 프레임워크를 크게 확장한다.

ABSTRACT

Unlike in the case of Fibonacci and Lucas numbers, there is a paucity of literature dealing with summation identities involving the Padovan and Perrin numbers. In this paper, we derive various summation identities for these numbers, including binomial and double binomial identities. Our results derive from the rich algebraic properties exhibited by the zeros of the characteristic polynomial of the Padovan/Perrin sequence.

연구 동기 및 목표

• 피보나치 수열과 루카스 수열에 비해 패도반 수열과 페린 수열에 대한 합항 항등식에 관한 문헌의 부족을 해결하기 위해.
• 특성 다항식 $x^3 - x - 1$의 근의 대수적 구조를 이용하여 패도반 수와 페린 수의 닫힌 형태 이항 및 이중 이항 합항 항등식을 유도하기 위해.
• 등차수열의 첨자를 가진 패도반 수와 페린 수의 합을 행렬식과 생성함수를 통해 표현하기 위해.
• 패도반 수열과 페린 수열 간의 관계를 $Q_n = 2P_{n-4} + 3P_{n-5}$ 및 $Q_n = 2P_{n-2} + P_{n-5}$를 포함하는 항등식을 통해 수립하기 위해.
• 근 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$의 대칭 함수를 활용하여 합항 항등식에 대한 종합적인 대수적 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 특성 다항식 $x^3 - x - 1$의 근 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$를 사용하고 비에타의 정리를 적용하여 대칭 항등식을 도출한다.
• 레마 1을 활용하여 $\alpha^n$, $\beta^n$, $\gamma^n$을 패도반 수의 선형 조합으로 표현: $\alpha^n = \alpha^2 P_{n-4} + \alpha P_{n-3} + P_{n-5}$.
• 항등식 $Q_n = \alpha^n + \beta^n + \gamma^n$을 적용하여 페린 수를 패도반 수와 연결하고, $Q_n = 2P_{n-4} + 3P_{n-5}$를 도출한다.
• 생성함수 기법과 행렬 행렬식 표현을 활용하여 첨자가 등차수열을 이루는 패도반 수와 페린 수의 무한급수 및 유한합을 표현한다.
• 일반 항등식 (2.53)과 (2.54)에 특정 값 $x$와 $y$를 대입하여 이중 이항 항등식을 유도하고, 레마 5를 활용해 간소화한다.
• 계수 $\frac{n}{n-j}\binom{n-j}{j}$를 포함하는 항등식을 수립하여 첨수가 이동한 수열에 대한 재귀 유사 항등식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 다항식 $x^3 - x - 1$의 근을 이용하여 패도반 수와 페린 수에 대한 이항 합항 항등식을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 근의 대칭 함수를 활용하여 패도반 수열과 페린 수열에 대한 이중 이항 항등식을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 등차수열의 첨자를 가진 패도반 수와 페린 수의 합은 행렬식으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 첨자가 등차수열을 이루는 경우 패도반 수와 페린 수의 생성함수는 어떻게 도출되는가?
• RQ5 특정 항등식 $Q_n = 2P_{n-4} + 3P_{n-5}$ 및 $Q_n = 2P_{n-2} + P_{n-5}$는 새로운 합항 공식 유도에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 논문은 항등식 $\sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^j \frac{n}{n-j} \binom{n-j}{j} P_{p+n-3j} = (-1)^n (Q_n P_p - P_{n+p})$를 유도하여, 이항 합이 패도반 수와 페린 수와 연결됨을 보여준다.
• 이중 이항 항등식이 수립됨: $\sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \sum_{k=0}^{n-2j} (-1)^{j+k} \frac{n}{n-j} \binom{n-j}{j} \binom{n-2j}{k} Q_p^{n-2j-k} P_{q-pj+pk} = Q_{pn} P_q - P_{pn+q}$.
• 합 $\sum_{j=0}^{n} P_{pj+q}$는 패도반 수를 포함하는 행렬식의 비율로 표현되며, 분자에 있는 행렬식은 $P_{pn+p+q}-P_q$ 및 관련 항들을 포함한다.
• 첨자가 등차수열을 이루는 패도반 수의 생성함수는 행렬식의 비율로 주어진다: $\sum_{j=0}^{\infty} P_{pj+q} y^j = \frac{\left| \text{행렬에 } P_q, -yP_{p-3}, \dots \right|}{\left| \text{행렬에 } -yP_{p-2}+1, \dots \right|}$.
• 항등식 $Q_{-n} = \frac{1}{2}(Q_n^2 - Q_{2n})$가 도출되어 수열이 음수 첨자로 확장됨을 보여준다.
• 특정 매개변수 조합, 예를 들어 세트 13의 경우, 항등식 $\sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{n}{n-j} \binom{n-j}{j} 2^{2n-4j} P_{(m+2)n+p-4j} = P_{(m+7)n+p} + (-1)^n P_{(m-7)n+p}$가 증명되어 주기적이고 대칭적인 행동을 보임을 보여준다.