[논문 리뷰] Sumudu Transform of Hilfer-Prabhakar Fractional Derivatives and Applications

Satish K. Panchal, Amol D. Khandagale외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 29.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 2인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 힐러-프라바카르 분수계 도함수와 그 정규화된 형태의 수미 변환을 유도하고, 삼매개변수 미팅-레플러 함수를 포함하는 관계를 수립한다. 이 결과들을 물리학에서 발생하는 비동차 코시 유형 분수계 미분방정식을 해결하는 데 응용하며, 푸리에 및 수미 변환 기법을 병합하여 일반화된 미팅-레플러 함수로 표현되는 명시적 해를 도출한다.

ABSTRACT

In this paper the Sumudu transforms of Hilfer-Prabhakar fractional derivative and regularized version of Hilfer-Prabhakar fractional derivative are obtained. These results are used to obtain relation between them involving Mittag- Leffler function. Also these results are applied to solve some problems in physics. Here the solutions of problems involving Hilfer-Prabhakar fractional derivative and regularized version of Hilfer-Prabhakar fractional derivative are obtained by using Fourier and Sumudu transform techniques.

연구 동기 및 목표

• 힐러-프라바카르 분수계 도함수와 그 정규화된 형태의 수미 변환을 도출한다.
• 세 매개변수 미팅-레플러 함수를 포함하는 두 도함수 간의 기능적 관계를 수립한다.
• 유도된 변환을 사용하여 물리학에서 발생하는 비동차 코시 유형 분수계 미분방정식을 해결한다.
• 수미 변환 기법이 복잡한 기억핵을 가진 분수계 편미분방정식을 해결하는 데 효과적인지를 보여준다.

제안 방법

• 프라바카르 적분 연산자와 삼매개변수 미팅-레플러 함수를 사용하여 힐러-프라바카르 분수계 도함수의 수미 변환을 유도한다.
• 편미분방정식에서 공간 변수에는 푸리에 변환을, 시간 변수에는 수미 변환을 적용한다.
• 수미 변환의 콘볼루션 성질과 정규화된 힐러-프라바카르 도함수의 정의를 활용하여 해 표현식을 도출한다.
• 역 수미 변환과 역 푸리에 변환을 사용하여 원래 도메인에서의 해를 재구성한다.
• 분수계 수와 기억 효과에서 유도된 매개변수를 포함하는 무한급수 형태로 해를 표현한다.
• 변환 도메인에서의 초기 조건과 경계 조건을 검증하여 해 과정의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 세 매개변수 미팅-레플러 커널을 가진 힐러-프라바카르 분수계 도함수의 수미 변환은 무엇인가?
• RQ2 힐러-프라바카르 도함수와 그 정규화된 형태는 미팅-레플러 함수를 통해 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 수미 변환 기법은 비동차 코시 유형 분수계 미분방정식을 효과적으로 해결하는 데 적용될 수 있는가?
• RQ4 힐러-프라바카르 도함수가 시간 분수계 확산 방정식을 지배할 경우 해는 어떤 형태를 가질까?
• RQ5 매개변수 ρ, μ, ν, γ, ω는 변환 도메인에서 해의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 수미 변환 도함수의 수미 변환은 세 매개변수 미팅-레플러 함수와 변환 변수 u를 포함하는 함수로 유도된다.
• 미팅-레플러 함수를 사용하여 힐러-프라바카르 도함수와 그 정규화된 형태 사이의 직접적 관계를 수립하였으며, 정규화된 형태가 수정된 커널 구조에 해당함을 보여준다.
• 힐러-프라바카르 도함수를 포함하는 코시 문제의 해는 $ E_{ ho, u(1- u)+ u(1- u)}^{ ueta} $ 형태의 미팅-레플러 함수를 계수로 포함하는 푸리에 적분으로 표현된다.
• 정규화된 형태의 경우, 해는 $ t^{n heta} E_{ ho,n heta+1}^{neta}( ho t^{ ho}) $ 형태의 급수 전개로 주어지며, 여기서 $ heta = u $이다.
• 힐러-프라바카르 도함수를 포함하는 시간 분수계 확산 방정식의 해는 조건 $ ho > 0 $, $ ext{Re}( ho) > 0 $, 및 $ ext{Re}( u(1- u)) > 0 $ 하에서 수렴함을 보여준다.
• 프라바카르 커널을 활용함으로써 고전적 확산 해를 거듭제곱 기억 효과를 가진 분수계 모델로 효과적으로 일반화하였다.