[논문 리뷰] Super congruences involving Bernoulli and Euler polynomials

Zhi-Hong Sun|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 02.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 19인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 해석과 이항계수의 성질을 이용하여 이전의 $p^2$ 수준의 합동식을 정교화함으로써, Bernoulli 다항식과 Euler 다항식을 포함하는 새로운 초합동식을 $p^3$ 수준에서 확립한다. 이는 $inom{a}{k}inom{-1-a}{k}$ 형태의 합과 관련된 가중치 합이 Euler 다항식과 Bernoulli 다항식을 포함하는 정확한 $p^3$-합동식을 만족함을 증명하며, Sun 및 다른 이들의 결과를 $p^2$ 보정항을 명시적으로 포함하여 일반화한다.

ABSTRACT

Let $p>3$ be a prime, and let $a$ be a rational p-adic integer. Let $\{B_n(x)\}$ and $\{E_n(x)\}$ denote the Bernoulli polynomials and Euler polynomials, respectively. In this paper we show that $$\sum_{k=0}^{p-1}\binom ak\binom{-1-a}k\equiv (-1)^{\langle a angle_p}+ p^2t(t+1)E_{p-3}(-a)\pmod{p^3}$$ and for $a ot\equiv -\frac 12\pmod p$, $$\sum_{k=0}^{p-1}\binom ak\binom{-1-a}k\frac 1{2k+1}\equiv \frac{1+2t}{1+2a} +p^2\frac{t(t+1)}{1+2a}B_{p-2}(-a)\pmod{p^3},$$ where $\langle a angle_p\in\{0,1,\ldots,p-1\}$ satisfying $a\equiv \langle a angle_p\pmod p$ and $t=(a-\langle a angle_p)/p$. Taking $a=-\frac 13,-\frac 14,-\frac 16$ in the above congruences we solve some conjectures of Z.W. Sun. In this paper we also establish congruences for $\sum_{k=0}^{p-1}k\binom ak\binom{-1-a}k,\ \sum_{k=0}^{p-1}\binom ak\binom{-1-a}k\frac 1{2k-1},\ \sum_{k=1}^{p-1}\frac 1k\binom ak\binom{-1-a}k\pmod{p^3}$ and $\sum_{k=1}^{p-1}\frac {(-1)^k}k\binom ak,\ \sum_{k=0}^{p-1}\binom ak(-2)^k\pmod{p^2}.$

연구 동기 및 목표

• 초기하적 유형의 이항계수 합에 대한 알려진 $p^2$-초합동식을 $p^3$ 수준으로 확장하기.
• Euler 다항식과 Bernoulli 다항식을 $p^3$-합동식의 보정항으로 포함하는 정교화된 합동식을 제공하기.
• Sun의 $\binom{2k}{k}^2/16^k$, $\binom{2k}{k}\binom{4k}{2k}/64^k$, 그리고 관련 항들을 $p^3$ 모듈로에서 다루는 추측을 일반화하고 증명하기.
• 특수함수 항등식과 $p$-진 전개를 활용하여 $1/(2k+1)$, $1/k$, $(-1)^k/k$ 항을 포함하는 가중치 합에 대한 새로운 $p^3$-합동식을 수립하기.

제안 방법

• $p$-진 전개 $a = \langle a\rangle_p + pt$ 를 사용하여 이항계수 $\binom{a}{k}$ 를 $p^3$ 모듈로로 분석하기.
• 기저 사례로 $\sum_{k=0}^{p-1} \binom{pt}{k}\binom{-1-pt}{k} \equiv 1 \pmod{p^3}$ 인 항등식을 적용하여 합동식을 끌어올리기.
• $p$-진 전개된 조화합과 Bernoulli/Euler 다항식의 평가를 활용하여 보정항 유도하기.
• $p^3$ 모듈로에서의 이항계수 합 행동을 모델링하기 위해 재귀관계를 만족하는 생성함수 $F_n(a,x)$ 를 사용하기, 특히 $n = p-1$ 경우에 중점하기.
• 이미 알려진 $p$-진 항등식인 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k} \equiv 0 \pmod{p^2}$ 와 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^2} \equiv 0 \pmod{p}$ 을 활용하여 고차항을 단순화하기.
• $t = (a - \langle a\rangle_p)/p$ 의 $p$-진 전개를 사용하여 $\sum \binom{a}{k}\binom{-1-a}{k}/(2k+1)$ 과 $\sum \frac{1}{k}\binom{a}{k}\binom{-1-a}{k}$ 에 대한 $p^3$-합동식 유도하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Rodriguez-Villegas의 초함수적 이항계수 합에 대한 $p^2$-초합동식을 명시적인 보정항을 포함하여 $p^3$ 수준으로 정교화할 수 있는가?
• RQ2 만약 $a$ 가 $p$ 로 나누어지지 않는 $p$-진 정수이면, $\sum_{k=0}^{p-1} \binom{a}{k}\binom{-1-a}{k}$ 의 정확한 $p^3$-합동식은 무엇인가?
• RQ3 다음과 같은 가중치 합 $\sum \binom{a}{k}\binom{-1-a}{k}/(2k+1)$ 이 $p > 3$ 에서 $p^3$ 모듈로에서 어떻게 행동하는가?
• RQ4 이항계수 합의 맥락에서 $1/k$ 와 $(-1)^k/k$ 항을 포함하는 $p^3$-합동식을 수립할 수 있는가?
• RQ5 Euler 다항식과 Bernoulli 다항식은 이러한 초합동식의 $p^3$-보정항에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2}{16^k} \equiv \left(\frac{-1}{p}\right) - p^2 E_{p-3} \pmod{p^3}$, Sun의 추측을 확인한다.
• $a = -\frac{1}{4}$ 인 경우, $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}\binom{4k}{2k}}{64^k(2k+1)} \equiv \left(\frac{-1}{p}\right) - 3p^2 E_{p-3} \pmod{p^3}$, 기존의 $p^2$ 결과를 확장한다.
• $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}\binom{4k}{2k}}{64^k k} \equiv -3H_{(p-1)/2} + \frac{7}{4}p^2 B_{p-3} \pmod{p^3}$, 여기서 $H_{(p-1)/2}$ 는 조화합이다.
• $a = -\frac{1}{3}$ 인 경우, $\sum_{k=0}^{p-1} \binom{-1/3}{k}(-2)^k \equiv \left(\frac{-3}{p}\right) + \frac{3 - \left(\frac{-3}{p}\right)}{3} p q_p(2) \pmod{p^2}$, 새로운 $p^2$-합동식을 제공한다.
• 모든 $a \in \mathbb{Z}_p$, $a \not\equiv 0 \pmod{p}$ 에 대해 일반 합동식 $\sum_{k=0}^{p-1} \binom{a}{k}\binom{-1-a}{k} \equiv (-1)^{\langle a\rangle_p} + (a - \langle a\rangle_p)(p + a - \langle a\rangle_p) E_{p-3}(-a) \pmod{p^3}$ 이 성립한다.
• $a = -\frac{1}{4}$ 인 경우, $\sum_{k=0}^{p-1} \binom{a}{k}\binom{-1-a}{k} \frac{1}{2k+1} \equiv \frac{1+2t}{1+2a} + p^2 \frac{t(t+1)}{1+2a} B_{p-2}(-a) \pmod{p^3}$, 여기서 $t = (a - \langle a\rangle_p)/p$