[논문 리뷰] Super controlled gates and controlled gates in two-qubit gate simulations

Ming-Yong Ye, Yongsheng Zhang외 1명|arXiv (Cornell University)|2004. 07. 15.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 두 큐비트 얽힘이 있는 게이트의 시뮬레이션 능력이 그 거울 게이트로까지 확장됨을 보여주는 거울 게이트 정리(_mirror gate theorem_)를 수립한다. 이를 통해 보편적인 두 큐비트 게이트 시뮬레이션을 가능하게 한다. 또한, 초제어 게이트를 세 번 또는 특정 각도 조건을 만족하는 일부 제어 게이트를 네 번 사용할 경우, 단일 큐비트 회전을 통해 어떤 두 큐비트 유니터리 게이트라도 시뮬레이션할 수 있음을 증명하며, 최소한의 엔트레인징 게이트 사용을 위한 양자 회로 설계의 구조적 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

In two-qubit gate simulations an entangling gate is used several times together with single qubit gates to simulate another two-qubit gate. We show how a two-qubit gate's simulation power is related to the simulation power of its mirror gate. And we show that an arbitrary two-qubit gate can be simulated by three applications of a super controlled gate together with single qubit gates. We also give the gates set that can be simulated by n applications of a controlled gate in a constructive way. In addition we give some gates which can be used four times to simulate an arbitrary two-qubit gate.

연구 동기 및 목표

• 두 큐비트 얽힘 게이트, 특히 초제어 게이트와 제어 게이트의 시뮬레이션 능력을 규명함으로써 양자 회로 설계에 기여하는 것.
• 실험적 양자 계산에 매우 중요한 보편적인 두 큐비트 게이트 분해에서 엔트레인징 게이트 사용을 최소화하는 문제를 해결하는 것.
• 주어진 제어 게이트를 n번 사용할 때 어떤 두 큐비트 게이트를 시뮬레이션할 수 있는지 규명하는 구조적 방법을 개발하는 것.
• 게이트의 시뮬레이션 능력과 그 거울 게이트의 능력 간의 관계를 연결하는 거울 게이트 정리를 수립하여, 시뮬레이션 결과의 적용 범위를 넓히는 것.
• 네 번의 사용으로 어떤 두 큐비트 유니터리 게이트라도 시뮬레이션할 수 있는 특정 게이트 가족을 규명하여, 세 번 사용하는 초제어 게이트 기반 방법의 실용적 대안을 제시하는 것.

제안 방법

• 두 큐비트 게이트를 $ U_{AB} = (U^A \otimes U^B) U_d(V^A \otimes V^B) $ 형식으로 표준 분해하여 분석함. 여기서 $ U_d(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) = \exp(i\sum_{j=1}^3 \alpha_j \sigma_j^A \otimes \sigma_j^B) $ 이다.
• 거울 게이트 개념을 도입함: $ U_d(\alpha_1 + \pi/4, \alpha_2 + \pi/4, \alpha_3 + \pi/4) $ 는 $ U_d(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) $ 와 국소적으로 동치이며, 대칭 기반의 시뮬레이션 확장을 가능하게 한다.
• SWAP 게이트를 변환 도구로 사용하여 거울 게이트 정리를 유도함. 이는 게이트를 그 거울 게이트로 대체할 경우, 거울 게이트의 목표 게이트를 시뮬레이션할 수 있음을 보여준다.
• 단일 큐비트 게이트의 ZYZ 분해와 제어-Z 유형의 상호작용을 활용하여, 임의의 두 큐비트 게이트를 시뮬레이션하는 순서를 구성한다.
• 제어-Z 및 제어-Y 유형의 상호작용 분해에서 유도된 삼각함수 항등식을 활용하여 게이트 매개변수에 대한 조건을 유도함. 이는 네 번 사용 시뮬레이션에서 $ \cos(2a_1 \pm 2a_3) $ 에 대한 제약 조건을 이끌어낸다.
• 제어 게이트와 단일 큐비트 회전의 순서를 사용하여 명시적인 시뮬레이션 회로를 구성함. 매개변수는 고유값 일치 및 엔트레인징 능력 요구 조건을 만족하도록 선택된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 큐비트 게이트의 시뮬레이션 능력은 그 거울 게이트의 능력과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 임의의 두 큐비트 게이트를 초제어 게이트 세 번과 단일 큐비트 연산만으로 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ3 네 번의 사용으로 어떤 두 큐비트 유니터리 게이트라도 시뮬레이션할 수 있도록 하기 위한 제어 게이트에 필요한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ4 어떤 두 큐비트 게이트 집합이 주어진 제어 게이트를 정확히 n번 사용하여 시뮬레이션할 수 있으며, 이를 어떻게 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ5 마법 기저(magic basis)는 두 큐비트 게이트의 엔트레인징 능력과 시뮬레이션 능력을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 거울 게이트 정리는, 게이트 $ U_d(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3) $ 가 $ U_d(\beta_1,\beta_2,\beta_3) $ 를 시뮬레이션할 수 있다면, 그 거울 게이트는 $ U_d(\beta_1,\beta_2,\beta_3) $ 의 거울을 시뮬레이션할 수 있음을 보여주며, 이는 대칭 기반의 시뮬레이션 확장을 가능하게 한다.
• 임의의 두 큐비트 게이트는 초제어 게이트 $ U_d(\pi/4, \alpha_2, 0) $ 를 정확히 세 번 사용하고 단일 큐비트 게이트를 조합함으로써 시뮬레이션할 수 있으며, 이는 두 큐비트 시뮬레이션에서의 보편성을 증명한다.
• 게이트 $ U_d(a_1/2, 0, a_3/2) $ 는 $ \cos(2a_1 + 2a_3) \leq -1/\sqrt{2} $ 이고 $ \cos(2a_1 - 2a_3) \leq 1/\sqrt{2} $ 를 만족할 경우 네 번의 사용으로 어떤 두 큐비트 유니터리 게이트라도 시뮬레이션할 수 있으며, 이는 네 번 사용 가능한 보편적 게이트 가족을 제공한다.
• 제어 게이트 $ U_d(\alpha, 0, 0) $ 를 n번 사용하여 시뮬레이션할 수 있는 게이트 집합은, 게이트 분해에서 유도된 삼각함수 항등식을 바탕으로 한 매개변수 제약 조건을 통해 체계적으로 특성화된다.
• DCNOT 게이트는 CNOT 게이트의 거울이며, SWAP 게이트는 $ U_d(\pi/4, \pi/4, \pi/4) $ 와 국소적으로 동치이다. 이는 거울 개념의 기하학적 및 대수학적 일관성을 확인한다.
• 제어 게이트의 $ a_1 = a_2 = 0 $ 인 경우, 시뮬레이션 능력은 매개변수 $ b_3 $ 에 의해 결정되며, 게이트 $ e^{i a_3 \sigma_3^A \otimes \sigma_3^B} $ 는 $ \cos(a_3)\cos(b_3) $ 와 $ \sin(a_3)\sin(b_3) $ 를 포함하는 삼각함수 관계에 의해 제약을 받는 $ x, y $ 를 갖는 $ U_d(x/2, y/2, 0) $ 을 시뮬레이션할 수 있다.