[논문 리뷰] Super-convergence analysis on exponential integrator for stochastic heat equation driven by additive fractional Brownian motion

Jialin Hong, Chuying Huang|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 05.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 허스트 매개수 $ H \in (\frac{1}{2}, 1) $ 를 가진 무한차원 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 완전 이산화된 확률편미분방정식에 대해 시간 방향으로 최초의 초수렴 결과를 확립한다. 말리아빈 미분법, 스코로호드 적분에 대한 $ L^p $-추정, 라플라스 연산자의 부드러움 효과를 결합하여, 저자들은 초기 자료, 비선형 항, 그리고 소음에 대한 적절한 정규성 조건 하에서 지수적 적분법이 시간 방향으로 강수렴 차수 1을 달성함을 증명한다. 이는 해의 시간 허스트 연속성보다 높은 수렴 차수를 의미하며, 분수 소음을 가진 SPDE에 대해 시간 방향으로 초수렴 현상이 발생함을 나타낸다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the strong convergence order of the exponential integrator for the stochastic heat equation driven by an additive fractional Brownian motion with Hurst parameter $H\in(\frac12,1)$. By showing the strong order one of accuracy of the exponential integrator under appropriote assumptions, we present the first super-convergence result in temporal direction on full discretizations for stochastic partial differential equations driven by infinite dimensional fractional Brownian motions with Hurst parameter $H\in(\frac12,1)$. The proof is a combination of Malliavin calculus, the $L^p(Ω)$-estimate of the Skorohod integral and the smoothing effect of the Laplacian operator.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 스토하스틱 히트 방정식의 완전 이산화에 대해 시간 방향으로 최초의 초수렴 결과를 확립하기.
• 초기 자료, 비선형 항, 그리고 소음에 대한 적절한 정규성 조건 하에서 스토하스틱 히트 방정식에 대한 지수적 적분법의 강수렴 차수를 분석하기.
• fBm 기반 SPDE에 대해 버크홀더–데이비스–구디니 부등식이 존재하지 않는 문제를 말리아빈 미분법과 스코로호드 적분에 대한 $ L^p $-추정을 활용하여 해결하기.
• 시간 방향 수렴 차수가 해의 시간 허스트 연속성보다 높을 수 있음을 입증하여, $ H $ 에 의해 제한되는 해의 허스트 연속성에도 불구하고 수렴 차수 1을 달성함을 보여주기.

제안 방법

• 허스트 매개수 $ H \in (\frac{1}{2}, 1) $ 를 가진 가산 무한차원 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 스토하스틱 히트 방정식의 온화한 형태를 사용한다.
• 분수 브라운 운동에 대한 스코로호드 적분을 분석하기 위해 말리아빈 미분법을 적용하여 확률적 항의 정밀한 추정을 가능하게 한다.
• 스코로호드 적분에 대한 $ L^p(\Omega) $-추정을 활용하여 해의 확률적 성분에서 발생하는 오차를 제어한다.
• 음의 라플라스 연산자에 의해 생성되는 해석적 반군의 부드러움 효과를 활용하여 해의 시간적 행동에서의 정규성을 향상시킨다.
• 전체 오차를 결정론적 부분과 확률적 부분으로 분해하여 오차 경계를 유도하며, 후자는 분수 미분법과 말리아빈 적분 기법을 통해 분석한다.
• 라플라스 연산자의 스펙트럼 분해와 고유값 $ \lambda_i = i^2\pi^2 $ 에 대한 추정을 통해 힐베르트-슈미트 노름에서 오차 항의 합산 가능성을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 SPDE에 대해 지수적 적분법이 해의 시간 허스트 연속성보다 높은 강수렴 차수를 달성할 수 있는가?
• RQ2 가산 무한차원 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 스토하스틱 히트 방정식에 대해 지수적 적분법의 시간 방향 정확도는 정확히 얼마인가?
• RQ3 말리아빈 미분법과 $ L^p $-추정을 효과적으로 조합하여 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 SPDE의 확률적 적분을 분석할 수 있는가?
• RQ4 초기 자료, 비선형 항, 그리고 소음에 대해 어떤 정규성 조건이 존재할 경우 이러한 SPDE의 완전 이산화에서 시간 방향 초수렴 현상이 나타나는가?
• RQ5 지수적 적분법의 수렴 차수는 $ H $ 보다 엄밀히 높은가? 그리고 이는 정규성 매개수 $ \gamma $ 에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 초기 자료, 비선형 항, 소음에 대한 가정 1–3와 함께 $ \gamma > \max\{3-2H, \frac{3}{2}\} $ 를 만족할 경우, 지수적 적분법은 가산 무한차원 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 스토하스틱 히트 방정식에서 시간 방향으로 강수렴 차수 1을 달성한다.
• 이 결과는 무한차원 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 SPDE의 완전 이산화에 대해 시간 방향으로 최초의 초수렴 현상임을 나타낸다.
• 수렴 차수는 해의 시간 허스트 연속성에 의해 제한되는 것보다 높으며, 이는 초수렴 현상이 실제로 발생함을 확인한다.
• 증명은 스코로호드 적분을 추정하기 위해 말리아빈 미분법을 활용하고, 확률적 오차를 제어하기 위해 $ L^p $-추정을 사용하며, 라플라스 연산자의 부드러움 효과를 통합한다.
• 오차 경계는 공간적 $ L^2 $-노름에서 $ \mathcal{O}(h^2) $ 임을 보이며, 시간 수렴 차수는 1이므로 평균 제곱 의미에서 전체 오차는 $ \mathcal{O}(h^2) $ 가 된다.
• 저자들은 $ 1 < \gamma \leq \max\{3-2H, \frac{3}{2}\} $ 인 경우 수렴 차수가 $ H $ 와 1 사이에 있을 것으로 추측하며, 이는 $ \gamma $ 에 대한 비트리비얼한 의존성 존재를 시사한다.