[논문 리뷰] Super-positivity of a family of L-functions

Dorian Goldfeld, Bingrong Huang|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 30.

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한 줄 요약

이 논문은 $SL(2,\mathbb{Z})$에 대해 무한히 많은 모듈라 형식이 존재함을 증명하며, 이들에 관련된 $L$-함수는 완비화된 $L$-함수의 $s=1/2$에서 모든 도함수들이 음이 아닌 초과 양성(super-positivity)을 보인다. 증명은 멜로지피케이션 기법과 순간 추정을 활용하여, 가족 내 $L$-함수의 양의 비율이 초과 양성 조건을 만족함을 보이며, 이러한 형식의 조밀도에 대한 명시적 상한을 제공한다.

ABSTRACT

Zhiwei Yun and Wei Zhang introduced the notion of "super-positivity of self dual L-functions" which specifies that all derivatives of the completed L-function (including Gamma factors and power of the conductor) at the central value $s = 1/2$ should be non-negative. They proved that the Riemann hypothesis implies super-positivity for self dual cuspidal automorphic L-functions on $GL(n)$. Super-positivity of the Riemann zeta function was established by Pólya in 1927 and since then many other cases have been found by numerical computation. In this paper we prove, for the first time, that there are infinitely many L-functions associated to modular forms for $SL(2, \mathbb{Z})$ each of which has the super-positivity property. Our proof also establishes that all derivatives of the completed L-function at any real point $σ> 1/2$ must be positive.

연구 동기 및 목표

• 자기 dual 임계형 자동형 $L$-함수의 존재를 증명한다. 이는 $GL(2,\mathbb{A}_\mathbb{Q})$에서 정의되며 초과 양성 성질을 갖는다.
• 이 $L$-함수들에 대해 $s=1/2$에서 완비화된 $L$-함수의 모든 도함수가 음이 아닌 것으로 보장한다.
• $s=1/2$를 넘는 모든 실수 $\sigma > 1/2$로의 초과 양성 성질을 확장하여, 그 영역에서 모든 도함수가 엄격히 양수임을 보인다.
• 영 영역 추정과 도함수 부호 분석을 활용하여 개별 $L$-함수의 초과 양성 성질을 확인할 수 있는 구축 가능한 방법을 제공한다.

제안 방법

• 완화 함수의 가족을 사용하여 $L$-함수를 멜로지피케이션하여 $L$-함수와 그 도함수의 크기를 제어한다.
• 근사 함수 방정식과 적분 변환을 활용하여 $L$-함수 값과 스펙트럼 가족에 대한 평균 간의 관계를 설정한다.
• $|L(\sigma + it, f)|^2$의 순간 추정을 적용하여 멜로지피케이션된 $L$-함수와 그 도함수의 크기를 제어한다.
• 영 밀도 추정과 적분 최대화 기법을 통해 $\sigma > 1/2$ 근처의 임계 스트립 내 영이 없는 $L$-함수의 조밀도를 추정한다.
• 함수 방정식과 대칭성을 활용하여 $s=1/2$에서의 값과 오른쪽 반평면의 값 간의 관계를 설정함으로써 도함수의 부호 분석을 가능하게 한다.
• hyperbolic 및 삼각함수를 포함하는 적분의 수치적 평가를 통해 초과 양성 조건을 위반하는 $L$-함수의 비율에 대한 명시적 상한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한히 많은 모듈라 $L$-함수들이 존재하는가? 이는 $SL(2,\mathbb{Z})$에서 정의되며, $s=1/2$에서 완비화된 $L$-함수의 모든 도함수가 음이 아닌가?
• RQ2 초과 양성 성질은 $s=1/2$에서만 아니라, 모든 실수 $\sigma > 1/2$에서 성립하는가?
• RQ3 레벨 1이고 짝수 스펙트럼을 갖는 정칙 촘프 형식의 가족 내에서 초과 양성 조건을 만족하는 $L$-함수의 비율은 얼마인가?
• RQ4 영 영역 추정과 도함수의 부호 분석을 통해 개별 $L$-함수의 초과 양성 성질을 검증할 수 있는가?

주요 결과

• 레벨 1이고 짝수 스펙트럼을 갖는 정칙 촐프 형식이 무한히 많으며, 이들에 대해 $s=1/2$에서 완비화된 $L$-함수의 모든 도함수가 음이 아닌 것으로 확인된다.
• 이 $L$-함수들에 대해 임의의 실수 $\sigma > 1/2$에서 완비화된 $L$-함수의 모든 도함수가 엄격히 양수이다.
• 영역 $\sigma \in (1/2,1)$, $|t| \leq \sigma - 1/2$ 내에서 영이 없는 $L$-함수의 비율은 최소 $27\%$이며, 이는 초과 양성 $L$-함수의 양의 조밀도를 의미한다.
• 명시적 상한이 계산되었으며, $\mathcal{N}_1(K,\Phi)/\mathcal{A}(K,\Phi) \leq 0.19441$, $\mathcal{N}_2(K,\Phi)/\mathcal{A}(K,\Phi) \leq 0.03891$, $\mathcal{N}_3(K,\Phi)/\mathcal{A}(K,\Phi) \leq 0.00989$이며, 尾수합 $\sum_{j=14}^{J-1} \mathcal{N}_j(K,\Phi)/\mathcal{A}(K,\Phi) \leq 0.01212$이다.
• 이 방법을 통해 초과 양성 조건을 위반하는 $L$-함수의 집합은 최대 $63\%$의 조밀도를 갖는 것으로 확인되었으며, 따라서 최소 $27\%$는 초과 양성임을 증명한다.