[논문 리뷰] Super-potentials, densities of currents and number of periodic points for holomorphic maps

Tien‐Cuong Dinh, Viêt‐Anh Nguyên외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 04.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 27인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 초과거품과 조밀도를 사용하여 컴팩트 카플러 다양체 위의 양의 폐포된 코어에 대한 유효한 프레임워크를 수립하며, 두 기존 방법 간의 동치성을 증명한다. 이 이론을 적용하여 단순한 코homological 작용을 갖는 헬로모르픽 맵의 고립된 주기점 수에 대한 날카로운 상계를 유도하며, 작용이 단순하고 평형 코어가 연속 초과거품을 갖는 경우 이 상계는 맵의 위상 차수와 정확히 일치함을 보여준다.

ABSTRACT

We prove that if a positive closed current is bounded by another one with bounded, continuous or Hoelder continuous super-potentials, then it inherits the same property. There are two different methods to define wedge-products of positive closed currents of arbitrary bi-degree on compact Kaehler manifolds using super-potentials and densities. When the first method applies, we show that the second method also applies and gives the same result. As an application, we obtain a sharp upper bound for the number of isolated periodic points of holomorphic maps on compact Kaehler manifolds whose actions on cohomology are simple. A similar result still holds for a large class of holomorphic correspondences.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트 카플러 다양체 위에서 임의의 이차차수를 갖는 양의 폐포된 코어의 유효한 프레임워크를 초과거품과 조밀도 방법을 통해 통합적으로 정의하는 것.
• 두 방법이 모두 적용 가능한 경우 동일한 코어를 유도함을 증명하여 그 장점을 통합하는 것.
• 정교화된 교차 이론을 활용하여 헬로모르픽 맵과 상응관계의 고립된 주기점 수를 제한하는 것.
• 코homological 작용이 단순하고 평형 코어가 연속 초과거품을 갖는 경우, 고립된 주기점 수가 위상 차수 이하로 제한됨을 증명하는 것.

제안 방법

• 기준 형식과 코homology 클래스를 사용하여 양의 폐포된 코어에 대한 초과거품을 정의하고, 스토크스 정리를 통해 선택에 의존하지 않음을 보장한다.
• 코어 공간에서 수렴을 정의하기 위해 코어의 유한 질량과 함께 약한 위상과 *-노름을 도입한다.
• 만약 어떤 코어가 유한하고 연속적이거나 하올더 연속적인 초과거품을 갖는 다른 코어에 의해 지배된다면, 그 코어는 동일한 정규성 성질을 상속함을 증명한다.
• 초과거품의 지배 원리(Principle)를 사용하여 당김과 밀림 사상에 의한 코어의 성장률을 제어한다.
• 헬로모르픽 맵에 이 те올리를 적용하기 위해 코어에 대한 당김 작용을 코homology에서 분석하고, 정규화된 그래프의 약한 극한을 통해 평형 코어를 구성한다.
• 정규화된 그래프의 수렴이 평형 코어의 텐서곱으로 이어지고, 대각선과의 교차 수에 대한 보조정리를 적용하여 주기점 수의 상계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴팩트 카플러 다양체에서 초과거품 방법과 조밀도 기반 방법이 양의 폐포된 코어의 유효한 프레임워크를 정의할 때, 어떤 조건에서 동일한 결과를 도출하는가?
• RQ2 초과거품의 유한성, 연속성, 하올더 연속성은 지배되는 코어에 의해 상속될 수 있는가?
• RQ3 단순한 코homological 작용을 갖는 컴팩트 카플러 다양체 위의 헬로모르픽 맵에 대해 고립된 주기점 수의 날카로운 상계는 무엇인가?
• RQ4 평형 코어에 연속 초과거품이 존재할 경우 주기점 수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 접선 h-차원과 대각선과의 cup 곱은 그래프와 대각선의 교차 수를 제한하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 초과거픔과 조밀도 기반 방법이 모두 적용 가능한 경우, 양의 폐포된 코어의 유효한 프레임워크를 정의할 때 동일한 결과를 도출함을 증명하여 복잡한 기하학에서 두 접근법을 통합한다.
• 유한성, 연속성, 하올더 연속성 등의 초과거품 성질은 지배되는 코어에 의해 상속된다.
• 코homological 작용이 단순하고 평형 코어가 연속 초과거품을 갖는 경우, 컴팩트 카플러 다양체 위의 헬로모르픽 맵의 고립된 주기점 수는 맵의 위상 차수 이하로 제한된다.
• 반복된 맵의 정규화된 그래프는 평형 코어와 그 쌍대의 텐서곱으로 약한 수렴을 이룬다. 이는 교차 이론의 적용을 가능하게 한다.
• 극한 코어와 대각선의 교차 수는 정확히 1이며, 이는 레마 5.11에 의한 교차 다중도 수에 의해 날카로운 상계로 이어진다.
• 상계는 날카롭다: 평형 코어가 연속 초과거품을 갖고 작용이 단순할 경우, 극한 코어의 표준 초과거품이 0이 되어 등호가 성립함을 보여준다.