[논문 리뷰] Super-resolution by means of Beurling minimal extrapolation

John J. Benedetto, Weilin Li|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 21.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 32인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 한정된 푸리에 데이터로부터 측도를 복원하기 위해 베르링의 최소 외삽 이론을 활용하는 새로운 프레임워크를 제안한다. 유일성 재구성의 조건이 데이터로부터 유도된 집합 Γ의 원소 수에 따라 결정됨을 보이며, |Γ| ≥ 2일 경우 최소 외삽 해는 초평면의 교차부에 지지됨을 밝히고, |Γ| = 1인 경우는 양의 해와 관련된 특별한 케이스임을 밝혀 기존 압축 감지 및 슈퍼레졸루션 알고리즘의 오랜 한계를 해결한다.

ABSTRACT

Let $M(\mathbb{T}^d)$ be the space of complex bounded Radon measures defined on the $d$-dimensional torus group $(\mathbb{R}/\mathbb{Z})^d=\mathbb{T}^d$, equipped with the total variation norm $\|\cdot\|$; and let $\hatμ$ denote the Fourier transform of $μ\in M(\mathbb{T}^d)$. We address the super-resolution problem: For given spectral (Fourier transform) data defined on a finite set $Λ\subset\mathbb{Z}^d$, determine if there is a unique $μ\in M(\mathbb{T}^d)$ of minimal norm for which $\hatμ$ equals this data on $Λ$. Without additional assumptions on $μ$ and $Λ$, our main theorem shows that the solutions to the super-resolution problem, which we call minimal extrapolations, depend crucially on the set $Γ\subsetΛ$, defined in terms of $μ$ and $Λ$. For example, when $Γ=0$, the minimal extrapolations are singular measures supported in the zero set of an analytic function, and when $Γ\geq 2$, the minimal extrapolations are singular measures supported in the intersection of $Γ\choose 2$ hyperplanes. By theory and example, we show that the case $Γ=1$ is different from other cases and is deeply connected with the existence of positive minimal extrapolations. This theorem has implications to the possibility and impossibility of uniquely recovering $μ$ from $Λ$. We illustrate how to apply our theory to both directions, by computing pertinent analytical examples. These examples are of interest in both super-resolution and deterministic compressed sensing. Our concept of an admissibility range fundamentally connects Beurling's theory of minimal extrapolation with Candes and Fernandez-Granda's work on super-resolution. This connection is exploited to address situations where current algorithms fail to compute a numerical solution to the super-resolution problem.

연구 동기 및 목표

• 연속적 및 특이 측도에 대해 이산 측도에 국한되지 않는 슈퍼레졸루션 문제를 총변동(norm) 최소화 문제로 재정의함으로써 해결하고자 한다.
• 저주파수 푸리에 계수만 알려진 상황에서 슈퍼레졸루션 문제의 유일한 해가 존재하는 조건을 규명하고자 한다.
• 측도 μ와 데이터 집합 Λ로부터 유도된 집합 Γ를 통해 최소 외삽 해의 지지 구조를 특성화하고자 한다.
• 캔드스와 페르난데스-그란다의 슈퍼레졸루션 프레임워크와 베를링의 최소 외삽 이론을 연결하여, 이론의 적용 범위를 이산 측도를 초월한 비이산 측도로 확장하고자 한다.
• |Γ| ≥ 2일 경우 슈퍼레졸루션의 유일성 실패를 입증하고, |Γ| = 1인 경우가 양의 최소 해를 가능하게 하는 특별한 역할을 하는지를 규명하고자 한다.

제안 방법

• 측도 ν ∈ M(𝕋ᵈ)에 대해 총변동 노름을 최소화하는 볼록 최적화 문제로 슈퍼레졸루션 문제를 수립:  ̂ν = ̂μ 이 유한한 집합 Λ ⊆ ℤᵈ 에서 성립.
• 측도 μ와 데이터 집합 Λ에 의해 정의되는 Γ ⊆ Λ 를 도입하여, 최소 외삽 해의 구조를 지배함.
• 베를링의 최소 외삽 이론을 활용해 해의 지지 구조를 특성화: |Γ| = 0일 경우, 해는 해석함수의 영점 집합에 지지된 특이 측도임.
• |Γ| ≥ 2일 경우, 최소 외삽 해는 Γ의 원소 쌍 간 차이로부터 유도된 |Γ| choose 2개의 초평면의 교차부에 지지됨을 보임.
• 예를 들어 표면 측도나 칸토어 유형 측도와 같은 이산 및 연속 특이 최소 외삽 해의 구체적 예를 제시하여 이론적 결과를 시각화함.
• 천문학 및 의료 영상 문제에 이론을 적용: 물체가 딜라르 측도 또는 표면 측도로 모델링되는 경우, 유일성이 보장되지 않음을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 저주파수 푸리에 계수만 제공될 경우, 슈퍼레졸루션 문제의 해가 언제 유일하게 존재하는가?
• RQ2 측도 μ와 데이터 집합 Λ로부터 유도된 집합 Γ의 구조가 최소 외삽 해의 지지 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 |Γ| = 1인 경우는 다른 경우와 비교해 양의 최소 외삽 해의 존재성 및 성격 측면에서 어떤 특징을 가지는가?
• RQ4 베를링의 최소 외삽 이론을 캔드스와 페르난데스-그란다의 현대 슈퍼레졸루션 프레임워크와 체계적으로 연결할 수 있는가?
• RQ5 현재의 수치 알고리즘이 진짜 측도를 복원하지 못할 정도로 실패할 수 있는 정도는 어느 정도이며, 이 이론은 이러한 실패를 어떻게 설명하는가?

주요 결과

• |Γ| = 0일 경우, 최소 외삽 해는 해석함수의 영점 집합에 지지된 특이 측도이며, 이는 매우 제약된 해 공간을 의미함.
• |Γ| ≥ 2일 경우, 최소 외삽 해는 |Γ| choose 2개의 초평면의 교차부에 지지되며, 이는 데이터 집합 Λ와 측도 μ로부터 명시적으로 계산 가능함.
• 예제 3.7에서 최소 외삽 해는 𝕋²에서 x₁ + x₂ = 1 직선에 지지되며, 여러 개의 이산 및 연속 특이 측도(예: ν_y,K 및 σ)가 동일한 최소 노름을 가지며 Λ에서 데이터와 일치함.
• 중간 1/q 칸토어 집합을 가진 예제에서는 연속 특이 측도(σ_q)가 최소 외삽 해가 될 수 있음을 보이며, ‖σ_q‖ = 1 이고 푸리에 계수는 무한한余弦 곱으로 주어짐.
• 예제 3.9에서 최소 외삽 해는 두 직선(x₂ = 0 및 x₂ = 1/2)에 지지되며, μ = σ_A + σ_B 는 최소 외삽 해이지만 |Γ| = 1 이므로 유일성은 판단할 수 없음.
• 이 이론은 최소 외삽 해가 여러 개 존재하는 경우, 즉 |Γ| ≥ 2일 경우 조차도 슈퍼레졸루션 재구성이 불가능하다는 것을 입증함. 이는 진짜 측도가 이산 또는 특이일지라도 마찬가지임.