[논문 리뷰] Superabundant numbers, their subsequences and the Riemann hypothesis

Sadegh Nazardonyavi, Semyon Yakubovich|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 09.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 26인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 10080를 초과하는 정수 중에서 σ(n)/(n log log n)의 비율을 10080보다 작은 모든 정수보다 최대화하는 '극도로 풍부한 수'라는 새로운 수열을 도입한다. 이 수열은 리만 가설이 참임과 동시에 무한히 많은 극도로 풍부한 수가 존재함이 서로 동치임을 증명하며, 초과풍부수나 거대풍부수보다 더 얇고 더 구조화된 수열을 집중적으로 고려함으로써 리만 가설을 검증하는 데 더 날카로운 기준을 제공한다.

ABSTRACT

Let σ(n) be the sum of divisors of a positive integer n. Robin's theorem states that the Riemann hypothesis is equivalent to the inequality σ(n)5040 (γis Euler's constant). It is a natural question in this direction to find a first integer, if exists, which violates this inequality. Following this process, we introduce a new sequence of numbers and call it as extremely abundant numbers. In this paper we show that the Riemann hypothesis is true, if and only if, there are infinitely many of these numbers. Moreover, we investigate some of their properties together with superabundant and colossally abundant numbers.

연구 동기 및 목표

• 초과풍부수나 거대풍부수보다 더 얇고 더 구조화된 정수 수열을 찾기 위해, 로빈 부등식의 반례가 존재할 가능성이 있는지 검토하기 위함.
• 리만 가설이 거짓일 경우 로빈 부등식을 위반할 수 있는 후보가 되는 새로운 수의 집합인 '극도로 풍부한 수'를 정의하고 분석하기 위함.
• 리만 가설이 참임과 동시에 극도로 풍부한 수가 무한히 많음이 서로 동치임을 증명함으로써, 새로운 등가 조건을 설정하기 위함.
• 극도로 풍부한 수의 渐近적 및 구조적 성질을 초과풍부수와 거대풍부수와 비교하여 조사하기 위함.

제안 방법

• 극도로 풍부한 수를 10080보다 큰 정수 n으로 정의하며, f(n) = σ(n)/(n log log n)이 [10080, n) 범위의 모든 m에 대해 f(m)을 초과하는 경우로 정의하고, 10080을 기저 사례로 삼는다.
• 로빈의 정리(리만 가설의 참 여부가 5040보다 큰 모든 n에 대해 σ(n) < e^γ n log log n를 만족함과 동치임)를 활용한다.
• 로빈 부등식의 반례가 반드시 초과풍부수여야 한다는 사실(Akbary & Friggstad, 2009)을 이용하고, 이를 극도로 풍부한 수의 부분수열으로 제한함으로써 이를 정교화한다.
• 연속된 극도로 풍부한 수의 성장률을 분석하여, 특정한 c > 0에 대해 n′/n > 1 + c (log log n)^2 / log n 및 n′/n > 1 + c (log log n)^2 / √log n임을 보인다.
• 초과풍부수의 250,000번째 수까지와 극도로 풍부한 수의 8,150번째 수까지의 경험적 성질을 검증하며, σ(n)/n, φ(n), 및 관련 산술 함수의 단조성 등을 확인한다.
• 소수의 계승 기반 구성과 수치 표를 활용하여, 극도로 풍부한 수, 초과풍부수, 거대풍부수에서 f(n) = σ(n)/(n log log n)의 행동을 비교 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초과풍부수보다 더 얇고 더 구조화된 정수 수열은 존재하는가? 이러한 수열은 로빈 부등식을 검증하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ2 극도로 풍부한 수의 무한성에 따라 리만 가설을 등가로 재구성할 수 있는가?
• RQ3 연속된 극도로 풍부한 수의 渐近적 성장 성질은 무엇이며, 초과풍부수나 거대풍부수와 비교해 어떻게 다를까?
• RQ4 σ(n)/n, φ(n), ω(n) 등의 핵심 산술 함수들이 극도로 풍부한 수 수열을 따라 단조롭게 증가하는가?
• RQ5 극도로 풍부한 수에서 f(n) = σ(n)/(n log log n)의 행동은 다른 알려진 수열과 비교해 어떻게 다를까?

주요 결과

• 리만 가설이 참임과 동시에 극도로 풍부한 수가 무한히 많음이 서로 동치임을 증명하여, 새로운 등가 기준을 확립하였다.
• 첫 10개의 극도로 풍부한 수가 계산되어 목록화되었으며, f(n)의 값은 1.75737에서 1.75860 사이로, 느리지만 꾸준히 증가하는 경향을 보였다.
• 연속된 극도로 풍부한 수 n과 n′에 대해, 0 < c ≤ 4일 때 n′/n > 1 + c (log log n)^2 / log n임을 보였고, 0 < c ≤ 0.195일 때는 n′/n > 1 + c (log log n)^2 / √log n임도 확인하였다. 이는 테스트 범위 내에서 성립한다.
• 250,000번째 초과풍부수까지의 극도로 풍부한 수 집합에서 g(n) = n / ω(n)는 증가하는 경향을 보였다.
• 초과풍부수 수열에서 C₂까지의 범위에서 σ(n ⌊σ(n)/n⌋)는 증가하며, 유사한 단조성은 극도로 풍부한 수열에서 φ(n ⌊σ(n)/n⌋) 및 관련 함수에도 성립한다.
• 극도로 풍부한 수 수열을 따라 f(n) = σ(n)/(n log log n)는 증가하고, f(n) > f(g(p))를 만족한다. 여기서 n ∈ SA이며 s₄₉ < n < C₂이며, g(p) = lcm(1,2,…,p)이다.