[논문 리뷰] Superconformal Partition Functions and Non-perturbative Topological Strings

G.B. Lockhart, Cumrun Vafa|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 22.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 62인용 수 56

한 줄 요약

이 논문은 5차원 및 6차원 초등방형 이론의 초등방형 지수와 연결된, 비분산적인 초등방형 장에 대한 정의를 제안한다. 이는 기울인 $S^5$ 위에서의 초등방형 장의 분할 함수를 통해 이루어지며, $SL(3,\mathbb{Z})$ 변환 하에서 위상수준의 진폭의 모듈라 역수를 포함하는 삼중곱 공식을 통해 비분산적인 계산이 가능하게 한다. 이는 $\mathcal{N}=(2,0)$ 및 $(1,0)$ 이론, 특히 $N$개의 M5 브레인을 포함한 이론의 분할 함수와 지수를 정확하게 계산할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

We propose a non-perturbative definition for refined topological strings. This can be used to compute the partition function of superconformal theories in 5 dimensions on squashed S^5 and the superconformal index of a large number of 6 dimensional (2,0) and (1,0) theories, including that of N coincident M5 branes. The result can be expressed as an integral over the product of three combinations of topological string amplitudes. SL(3,Z) modular transformations acting by inverting the coupling constants of the refined topological string play a key role.

연구 동기 및 목표

• 비분산적인 정밀 위상수준의 끈 이론에 대한 정의를 제공하여, 분산 진폭을 초월한다.
• 기울인 $S^5$ 위에서 5차원 $\mathcal{N}=1$ 이론의 초등방형 분할 함수를 비분산적인 위상수준 끈 데이터를 사용하여 계산한다.
• 이 틀을 6차원 $(2,0)$ 및 $(1,0)$ 이론의 초등방형 지수를 계산하는 데로 확장한다. 이는 $N$개의 M5 브레인 시스템을 포함한다.
• 비분산적인 위상수준 끈 진폭과 초등방형 이론 내 BPS 디제너레이시의 이중성 관계를 수립한다.
• 모듈라 역수 및 해석적 계속을 통해 개방 및 폐쇄 위상수준 끈 분할 함수를 일반화한다.

제안 방법

• 비분산적인 위상수준 끈 분할 함수 $Z_{np}$를 $SL(3,\mathbb{Z})$ 변환 하에서 결합 상수의 역수를 가진 세 개의 정밀 위상수준 진폭의 비율로 제안한다.
• 초등방형 지수와 위상수준 진폭 간의 관계를 이용하여, $Z_{np}$를 해석적 계속 및 모듈라 불변성을 통해 정의한다.
• 기울인 $S^5$ 위에서 5차원 초등방형 분할 함수를 $Z_{np}$에 대한 적분으로 표현하며, 질량 매개변수 $m_j$와 기울임 매개변수 $\tau_1, \tau_2$를 포함한다.
• 6차원 $(2,0)$ 및 $(1,0)$ 이론에 이 틀을 적용하기 위해 $S^1$ 상에서(compactify) 하여 5차원 이론으로 감소시키며, 이들의 분할 함수는 $Z_{np}$를 통해 계산된다.
• 개방 끈 진폭의 모듈라 역수를 통해 비분산적인 개방 끈 분할 함수 $Z_{np}^{open}$을 정의하며, $S^3$ 상에서 유사한 적분 구조를 갖는다.
• 삼중 사인 함수 $S_3$를 사용하여 하이퍼 및 벡터 메이플렛의 1-loop 결정을 $Z_{np}$로 표현하며, 분할 함수의 해석적 구조와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초등방형 분할 함수를 이용하여 비분산적인 정밀 위상수준의 끈 이론을 구성할 수 있는가?
• RQ2 위상수준 진폭을 이용하여 6차원 $(2,0)$ 및 $(1,0)$ 이론의 초등방형 지수를 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ3 $SL(3,\mathbb{Z})$ 모듈라 변환이 비분산적인 진폭을 정의하기 위해 결합 상수를 역수로 변환하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 비분산적인 위상수준 끈 분할 함수는 5차원 및 6차원 초등방형 이론 내 BPS 디제너레이시와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 모듈리에 대한 적분을 통해 $S^5$ 상의 분할 함수는 비분산적인 위상수준 끈 진폭으로 완전히 재구성될 수 있는가?

주요 결과

• 비분산적인 위상수준 끈 분할 함수는 $Z_{np}(t_i, m_j, \tau_1, \tau_2) = \frac{Z^{top}(t_i, m_j; \tau_1, \tau_2)}{Z^{top}(t_i/\tau_1, m_j/\tau_1; -1/\tau_1, \tau_2/\tau_1) \cdot Z^{top}(t_i/\tau_2, m_j/\tau_2; \tau_1/\tau_2, -1/\tau_2)}$ 로 주어지며, $SL(3,\mathbb{Z})$ 에 대해 불변성을 갖는다.
• 5차원 초등방형 분할 함수는 카허르 모듈리 $t_i$에 대한 $Z_{np}$의 적분으로 얻어지며, $m_j$는 질량 매개변수이고 $\tau_1, \tau_2$는 기울임 매개변수이다.
• M5 브레인 $N$개를 포함한 6차원 $(2,0)$ 이론의 초등방형 지수는 $S^1$ 상에서의 compactification을 통해 계산되며, 이는 $Z_{np}$를 이용한 비분산 지수로 표현된다.
• $(2,0)$ 이론의 경우 지수는 네 개의 매개변수에 의존하며, 5차원 $\mathcal{N}=2^*$ 게이지 이론의 질량과 결합 상수에 해당하는 추가 두 개의 피가추티가 있다.
• 5차원에서 하이퍼메이플렛과 벡터 메이플렛의 1-loop 결정은 삼중 사인 함수 $S_3$의 곱으로 표현되며, $Z_{np}$의 구조와 일치한다.
• 비분산적인 개방 끈 분할 함수는 $Z_{np}^{open} = \frac{Z^{open}(t_i, m_j, x_k; \tau)}{Z^{open}(t_i/\tau, m_j/\tau, x_k/\tau; -1/\tau)}$ 로 정의되며, $S^3$ 분할 함수는 개방 끈 모듈리 $x_k$에 대한 적분으로 주어진다.