[논문 리뷰] Superconformal vertex algebras in differential geometry. I

Jian Zhou|ArXiv.org|2000. 06. 26.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 34인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 시그마 모델을 거치지 않고 리만, 복소, 켈러, 하이퍼켈러 다양체로부터 N=1, N=2, N=4 초등방형 버텍스 대수학(SCVAs)을 직접 구성한다. 버텍스 대수학의 번들의 방법을 사용하여, 복소 다양체 위의 N=2 SCVA의 A- 및 B-트위스트에 대한 BRST 코homology가 각각 H*(M, Λ*(T*M)) 및 H*(M, Λ*(TM))와 동형임을 보이며, 이는 A 및 B 이론의 수학적 공식화를 제공하고 타원형 군과 연결된다.

ABSTRACT

We show how to construct an N=1 superconformal vertex algebra (SCVA) from any Riemannian manifold. When the Riemannian manifold has special holonomy groups, we discuss the extended supersymmetry. When the manifold is complex or Kähler, we also generalize the construction to obtain N=2 SCVA's. We study the BRST cohomology groups of the topological vertex algebras obtained by the $A$ twist and the $B$ twist from these N=2 SCVA's. We show that for one of them, the BRST cohomologies are isomorphic to $H^*(M, Λ^*(T^*M))$ and $H^*(M, Λ^*(TM))$ respectively. This provides a mathematical formulation of the $A$ theory and $B$ theory in physics literature. The connection with elliptic genera is also discussed. Furthermore, when the manifold is hyperkähler, we generalize our constructions to obtain N=4 SCVA's. A heuristic relationship with super loop space is also discussed.

연구 동기 및 목표

• 리만, 복소, 켈러, 하이퍼켈러 다양체로부터 시그마 모델에 의존하지 않고 N=1, N=2, N=4 초등방형 버텍스 대수학(SCVAs)을 엄밀한 수학적 방법으로 직접 구성하는 것.
• 복소 다양체 위의 특정한 미분형식 코homology 군과 BRST 코homology를 식별하여 끈 이론의 A 및 B 이론을 수학적으로 공식화하는 것.
• 기존의 층의 버텍스 대수학을 사용한 구성 방식을 발전시켜, 표준적인 미분기하학 기법을 활용할 수 있도록 SCVA의 번들을 도입하는 것.
• 루프 공간의 기하학과 무한한 형태를 통해 구성된 SCVAs와 타원형 군 간의 연결 고리를 확립하는 것.
• 초다양체 이론과 동치 위치의 아이디어를 활용하여 버텍스 대수학의 구조와 초루프 공간 간의 힌트적 연결 고리를 탐색하는 것.

제안 방법

• 다양체 M 위에 초등방형 버텍스 대수학의 번들을 구성하며, M의 기하적 구조(리만, 복소, 켈러, 하이퍼켈러)에 따라 섬유의 유형이 결정된다.
• 이 번들의 단면들의 공간을 이용해 해당 N=1, N=2, 또는 N=4 유형의 SCVA를 정의한다.
• 복소 및 켈러 다양체의 경우, 번들을 복소 벡터 번들로 간주하고 도르베오-연산자를 도입하며, 이에 따라 도르베오-코hom로지가 동일한 유형의 SCVA임을 보인다.
• N=2 SCVA에 A- 및 B-트위스트를 적용하여 위상 버텍스 대수학을 얻고, 그들의 BRST 코homology를 계산한다.
• 루프 공간의 복소화된 접선 번들의 분해를 이용하여 초루프 공간 위의 무한한 형태를 M 위의 버텍스 대수학 구조와 연결한다.
• 초다양체 형식을 사용하여 초루프 공간을 모델링하며, 고정점 집합은 M에 코타angent 번들構조를 가지며, 이 집합에 제한된 초루프 공간 위의 무한한 형태 번들을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하면 임의의 리만 다양체로부터 N=1 초등방형 버텍스 대수학을 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 끈 이론의 A 및 B 이론은 어떤 수학적 구조를 가지며, 시그마 모델에 의존하지 않고 어떻게 공식화할 수 있는가?
• RQ3 복소 다양체 위의 N=2 SCVA의 A- 및 B-트위스트에 대한 BRST 코homology는 복소 다양체 위의 미분형식의 코homology 군과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 특수 홀로노미(예: G2, Spin(7), 칼라비-야우)는 구성된 SCVAs에서 초수의 수를 더 높은 N으로 확장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 루프 공간의 기하학과 무한한 형태는 어떻게 버텍스 대수학과 타원형 군, K-이론 간의 연결 고리로 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 복소 다양체 M 위의 N=2 SCVA의 A-트위스트에 대한 BRST 코hom로지는 코hom로지 군 H*(M, Λ*(T*M))과 동형이다.
• 복소 다양체 M 위의 N=2 SCVA의 B-트위스트에 대한 BRST 코호모로지는 코호모로지 군 H*(M, Λ*(TM))과 동형이다.
• 특수 홀로노미(예: 칼라비-야우)를 가진 켈러 다양체의 경우, 구성된 N=2 SCVA의 A- 및 B-트위스트는 물리학적으로 알려진 A 및 B 이론을 수학적으로 재현한다.
• 다양체가 하이퍼켈러일 경우, 구성은 N=4 초등방형 버텍스 대수학으로 일반화된다.
• 고정점 집합(M, T*M)에 제한된 초루프 공간 위의 무한한 형태 번지는 Λ(⊕_{n≤0} t^n T*M) ⊗ S(⊕_{n<0} t^n T*M)와 동형이며, 이는 버텍스 대수학의 구조에 대한 기하학적 모델을 제공한다.
• 이 구성은 루프 공간 위의 버텍스 대수학을 통해 타원형 군을 새로운 기하학적 방법으로 제공하며, 버텍스 대수학의 K-이론과의 힌트적 연결 고리를 제공한다.