[논문 리뷰] Superconvergence of Local Discontinuous Galerkin method for one-dimensional linear parabolic equations

Waixiang Cao, Zhimin Zhang|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 21.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 1차원 선형 포아송 방정식에 국소 불연속 갈레르킨(LDG) 방법을 적용할 때 교차 수치적 플럭스를 사용하여 초수렴 결과를 확립한다. 적절한 초기 이산화 조건 하에 메쉬 노드와 도메인 평균에서 수치적 플럭스에 대해 $2k+1$-번째 초수렴 속도를 증명하며, 라다우 점에서 함수 값에 대해 $k+2$-번째 초수렴, 도함수에 대해 $k+1$-번째 초수렴을 보이며, 이는 라다우 점에서 도함수에 대한 $k+2$-번째 초수렴에 대한 첫 번째 엄밀한 증명을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we study superconvergence properties of the local discontinuous Galerkin method for one-dimensional linear parabolic equations when alternating fluxes are used. We prove, for any polynomial degree $k$, that the numerical fluxes converge at a rate of $2k+1$ (or $2k+1/2$) for all mesh nodes and the domain average under some suitable initial discretization. We further prove a $k+1$th superconvergence rate for the derivative approximation and a $k+2$th superconvergence rate for the function value approximation at the Radau points. Numerical experiments demonstrate that in most cases, our error estimates are optimal, i.e., the error bounds are sharp.

연구 동기 및 목표

• 1차원 선형 포아송 방정식에 적용된 LDG 방법에 대한 날카운 초수렴 속도를 확립하는 것.
• 특정 점들, 예를 들어 라다우 점에서 수치적 플럭스, 세포 평균값, 해 근사치의 수렴 행동을 분석하는 것.
• 시간에 의존하는 문제에 대해 해와 그 공간 도함수의 오차를 동시에 수정하는 새로운 보정 함수 기법을 개발하는 것.
• 도메인 평균과 노드에서의 수치적 플럭스에 대해 $2k+1$-번째 초수렴 속도가 최적이고 날카로운지 증명하는 것.
• 수치 실험을 통해 이론적 오차 한계가 날카로우며, 라다우 점에서 도함수에 대해 $k+2$-번째 초수렴이 달성 가능함을 보여주는 것.

제안 방법

• LDG 해와 초밀착(superclose)이 되는 특수 보정 함수를 구성하여, 해 $u$와 그 도함수 $q = u_x$를 모두 일치시키는 것.
• 수치적 플럭스 선택과 일치하는 보간 함수를 정의하기 위해 가우스-라다우 투영 $P_h^+u$와 $P_h^-q$를 사용하는 것.
• 시간에 의존하는 영향을 고려하여, 해와 도함수의 오차를 동시에 수정하는 결합된 보정 함수 프레임워크를 활용하는 것.
• LDG 약한 공식화와 안정성 분석을 사용하여 에너지 추정과 오차 방정식을 유도하는 것.
• 보정 함수를 적용하여 순서 $2k+1$의 초밀착을 증명하고, 이로 인해 이산 점에서 초수렴을 도출하는 것.
• 초기 투영이 정확한 해와 일치하도록 하여 최적 수렴 속도를 확보하는 초기 이산화 조건을 사용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1차원 선형 포아송 방정식에 대해, 메쉬 노드에서 도메인 평균과 수치적 플럭스에 대한 LDG 방법의 초수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 적절한 초기 조건 하에 LDG 해는 라다우 점에서 함수 값에 대해 $k+2$-번째 초수렴을 달성할 수 있으며, 도함수에 대해서는 $k+1$-번째 초수렴을 보일 수 있는가?
• RQ3 수치적 플럭스와 도메인 평균에 대해 $2k+1$-번째 초수렴 속도가 날카롭고 최적인가?
• RQ4 보정 함수 기법은 타원형 또는 쌍곡형 문제와 다를 바 있는 시간에 의존하는 포아송 문제에 어떻게 확장되는가?
• RQ5 초기 이산화가 LDG 스킴에서 고차수 초수렴을 달성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 적절한 초기 이산화 조건 하에, 도메인 평균과 모든 메쉬 노드에서 수치적 플럭스에 대해 LDG 방법이 $2k+1$-번째 초수렴 속도를 달성한다.
• 방법은 라다우 점에서 함수 값 근사에 대해 $k+2$-번째 초수렴, 이 점에서 도함수 근사에 대해 $k+1$-번째 초수렴을 보인다.
• LDG 해와 정확한 해의 가우스-라다우 투영 사이의 오차는 $k+2$-번째 속도로 수렴하며, 이는 초수렴을 확인한다.
• 수치 실험을 통해 이론적 오차 한계가 날카로우며, 관측된 수렴 속도가 예측된 $2k+1$ 및 $k+2$ 순서와 일치함을 확인한다.
• 도메인 평균에 대한 $2k+1$-번째 초수렴 속도는 이전에 알려진 결과보다 $1/2$ 차수 높아, 더 높은 정확도를 나타낸다.
• 이 작업은 포아송 방정식에 대한 LDG 맥락에서 라다우 점에서 도함수 근사에 대해 $k+2$-번째 초수렴을 증명하는 첫 번째 엄밀한 증명을 제시한다.