[논문 리뷰] Superconvergence Points For The Spectral Interpolation Of Riesz Fractional Derivatives

Beichuan Deng, Zhimin Zhang외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 29.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 로바토 타입 다항식과 일반화된 자코비 함수(GJF)를 사용한 리에즈 분수도수 미분의 스펙트럴 보간에서 초수렴 점을 규명하며, $ \alpha \in (0,1) $인 경우 $ O(N^{-2}) $, $ \alpha > 1 $인 경우 $ O(N^{-(\alpha+3)/2}) $의 수렴 속도 향상을 입증한다. 초수렴 점은 GJF를 사용할 경우 보간 노드와 일치하여 분수미분방정식(FDEs)을 풀이할 때 고차 정확도를 달성할 수 있다.

ABSTRACT

In this paper, superconvergence points are located for the approximation of the Riesz derivative of order $α$ using classical Lobatto-type polynomials when $α\in (0,1)$ and generalized Jacobi functions (GJF) for arbitrary $α> 0$, respectively. For the former, superconvergence points are zeros of the Riesz fractional derivative of the leading term in the truncated Legendre-Lobatto expansion. It is observed that the convergence rate for different $α$ at the superconvergence points is at least $O(N^{-2})$ better than the optimal global convergence rate. Furthermore, the interpolation is generalized to the Riesz derivative of order $α> 1$ with the help of GJF, which deal well with the singularities. The well-posedness, convergence and superconvergence properties are theoretically analyzed. The gain of the convergence rate at the superconvergence points is analyzed to be $O(N^{-(α+3)/2})$ for $α\in (0,1)$ and $O(N^{-2})$ for $α> 1$. Finally, we apply our findings in solving model FDEs and observe that the convergence rates are indeed much better at the predicted superconvergence points.

연구 동기 및 목표

• 클래식한 로바토 다항식을 사용하여 리에즈 분수도수 미분의 순서 $ \alpha \in (0,1) $에 대해 초수렴 점을 규명하는 것.
• $ \alpha > 1 $로 분석을 확장하여, 더 강한 특이성을 다루기 위해 일반화된 자코비 함수(GJF)를 사용해 안정적이고 정확한 보간을 가능하게 하는 것.
• 임의의 $ \alpha > 0 $에 대해 GJF 기반 보간의 잘 정의됨, 수렴성 및 초수렴 성질을 이론적으로 분석하는 것.
• 초수렴 점이 모델 분수미분방정식(FDEs)을 풀이할 때 향상된 정확도를 제공하는 실용적 유용성을 입증하는 것.
• 예측된 점에서 초수렴을 달성하는 데 있어 보간, 페트로프-갈레르킨 및 스펙트럴 콜로케이션 방법의 성능을 비교하는 것.

제안 방법

• $ \alpha \in (0,1) $인 경우, 초수렴 점은 레전드르-로바토 전개의 주요 항의 리에즈 분수도수 미분의 영점으로 규명된다.
• $ \alpha > 1 $인 경우, $ x = \pm 1 $에서의 특이성을 다루기 위해 일반화된 자코비 함수(GJF)를 기저 함수로 사용하여 안정적인 스펙트럴 보간을 가능하게 한다.
• 보간은 $ u_N(x) = \sum_{j=0}^N \hat{\ell}_j(x) v_j $로 구성되며, 여기서 $ \hat{\ell}_j(x) = (1 - x^2)^{\alpha/2} \ell_j(x) $이며, $ \ell_j $는 GJF 노드 위에서의 라그랑주 기저 함수이다.
• 초수렴 점은 보간 노드로도 기능하는 임의의 임계 다항식 $ P^{\alpha/2, \alpha/2}_{N+1}(x) $의 근으로 정의된다.
• 초수렴 점에서 분수미분방정식(FDE)을 강제로 만족시키는 스펙트럴 콜로케이션 방법을 수립하여 선형 방정식계 $ (D + \Lambda)V = F $를 도출한다. 여기서 $ D $는 분수도수 미분 행렬이다.
• GJF 기저 함수의 리에즈 도수 미분에 대한 알려진 공식을 통해 분수도수 미분 행렬 $ D $의 해석적 계산이 가능해진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순서 $ \alpha \in (0,1) $인 리에즈 분수도수 미분의 스펙트럴 보간에서 초수렴 점은 어디에 있으며, 이 점에서의 수렴 속도 향상은 어떠한가?
• RQ2 더 강한 특이성을 지닌 $ \alpha > 1 $인 경우, 표준 로바토 다항식이 실패하는 상황에서 초수렴을 어떻게 달성할 수 있는가?
• RQ3 일반화된 자코비 함수(GJF)를 사용할 경우 $ \alpha > 1 $에서 초수렴 점에서의 이론적 수렴 속도는 어떠한가?
• RQ4 보간, 페트로프-갈레르킨 및 스펙트럴 콜로케이션 방법 간에 초수렴 성능는 어떻게 비교되는가?
• RQ5 예측된 초수렴 점은 모델 분수미분방정식(FDEs)의 수치적 해를 향상시키는 데 효과적으로 활용될 수 있는가?

주요 결과

• $ \alpha \in (0,1) $인 경우, 초수렴 점은 레전드르-로바토 다항식의 리에즈 분수도수 미분의 영점이며, 이 점에서의 수렴 속도는 전역 최적 수렴 속도보다 $ O(N^{-2}) $ 향상된다.
• $ \alpha > 1 $인 경우, 일반화된 자코비 함수(GJF)의 사용으로 안정적인 보간이 가능하며, 초수렴 점은 보간 노드와 일치한다. 즉, $ P^{\alpha/2, \alpha/2}_{N+1}(x) $의 근으로 표현된다.
• 초수렴 점에서의 수렴 속도 향상은 $ \alpha \in (0,1) $인 경우 $ O(N^{-(\alpha+3)/2}) $, $ \alpha > 1 $인 경우 $ O(N^{-2}) $이며, 모두 전역 수렴 속도보다 뚜렷이 향상된다.
• 스펙트럴 콜로케이션 방법에서는 초수렴 속도가 전역 최적 수렴 속도보다 $ O(N^{-3}) $에서 $ O(N^{-4}) $ 빠르며, 보간 및 페트로프-갈레르킨 방법을 모두 능가한다.
• 수치 실험 결과, 초수렴 점에서의 오차는 전역 최대 오차보다 상당히 작으며, 특히 콜로케이션 방법에서 가장 뚜렷한 향상이 관찰된다.
• 이론은 초수렴 점의 위치를 정확히 예측할 수 있으며, 이들의 활용은 특히 GJF 기반 보간을 사용할 경우 모델 FDEs를 풀이할 때 상당한 정확도 향상을 이끌어낸다.