[논문 리뷰] Superelliptic jacobians

Yuri G. Zarhin|ArXiv.org|2006. 01. 04.

Cephalopods and Marine Biology인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 체 $K = k(t)$ 위에서 정의된 초타원곡선 $y^q = f(x)$의 아벨 곡선의 내림사상 대수와 동치성질을 연구한다. 여기서 $k$는 대수적으로 닫힌 체이며, $f(x)$의 차수는 $n=3$ 또는 $4$이며, 갈루아 군은 이중 전이적이다. $q = p^r$가 홀수 소수의 거듭제곱일 경우, $J(C_{f,q})$는 완전히 비동치이며, 그 내림사상 대수는 순환체들의 곱 $ \prod_{i=1}^r \mathbf{Q}(\zeta_{p^i})$와 동형이며, $q$가 홀수 소수의 거듭제곱일 경우 $\mathrm{End}(J(C_{f,q})) = \mathbf{Z}[\zeta_q]$이다.

ABSTRACT

We discuss the structure of the endomorphism algebras of the jacobians of superelliptic curves y^q=f(x) where q is a prime power and f(x) is an irreducible cubic or quartic polynomial over the field of rational functions k(t) in characteristic zero, whose Galois group is the full symmetric group.

연구 동기 및 목표

• 초타원곡선 $J(C_{f,q})$의 내림사상 대수 $\mathrm{End}^0(J(C_{f,q}))$의 구조를 규명하는 것. 여기서 곡선은 $y^q = f(x)$이며, $K = k(t)$ 위에서 정의되며, $k$는 대수적으로 닫혀 있다.
• $n=3$ 또는 $4$, $\mathrm{Gal}(f)$가 이중 전이적(즉, $S_3$, $A_4$, 또는 $S_4$)이며, $q = p^r$이면서 $p$가 $n$을 나누지 않는 홀수 소수일 경우, $J(C_{f,q})$의 완전한 비동치성을 확립하는 것.
• $q=4$의 경우를 별도로 분석하여, $\mathrm{End}^0(J(C_{f,4}))$가 $\mathbf{Q} \times \mathrm{Mat}_2(\mathbf{Q}(\sqrt{-1}))$와 동형이며, 아벨 곡선이 복소수 곱수를 가진 타원곡선들의 곱과 동치형인 것을 보이는 것.
• 이전 연구에서 다루지 않은 고유성의 초타원곡선의 경우, 즉 $n=3$과 $n=4$의 경우를 포함하여, 이중 전이적 갈루아 작용 하에서 내림사상 대수의 분류를 완성하는 것.

제안 방법

• N에론 모델과 양호한 환원 이론을 활용하여, $B$가 악성 환원 점의 유한 집합일 때 $\mathbf{A}^1 \setminus B$ 위에서 아벨 곡선의 행동을 연구한다.
• 기저 변경과 특성화 기법을 적용하여, $k_0 \setminus B$의 서로 다른 $k$-유리점 $a$에서의 섬세한 $J(C_{f_a,q})$를 비교하며, 분할 체의 선형 독립성을 이용한다.
• 문헌 [38]의 보조정리 3.6을 활용하여, $\mathrm{End}^0$ 내에서 $\mathbf{Q}(\zeta_q)$의 중심화자를 분석함으로써, 섬세한 간의 비영 homomorphism이 존재하지 않음을 배제한다.
• 정리 4.2(b)를 적용하여, 섬세한 간의 homomorphism이 존재하지 않음을 이용해, 일반 섬세한 $J(C_{f,q})$의 완전한 비동치성을 증명한다.
• 정리 5.18과 보조정리 5.11을 적용하여, $q=4$인 경우 $\mathrm{End}^0(J(C_{f,q}))$를 계산하며, 타원곡선의 내림사상 대수에 관한 기존 결과(특성화된 $j$-값을 가진 경우)를 활용한다.
• 순환체의 최대 순서에 관한 결과와 $\mathbf{Z}[\zeta_q]$가 $\mathbf{Q}(\zeta_q)$ 내의 최대 순서임을 이용하여, $q$가 홀수 소수의 거듭제곱일 경우 $\mathrm{End}(J(C_{f,q})) = \mathbf{Z}[\zeta_q]$임을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $n=3$ 또는 $n=4$이고 $\mathrm{Gal}(f)$가 이중 전이적일 경우, 초타원곡선 아벨 곡선 $J(C_{f,q})$의 $\mathrm{End}^0(J(C_{f,q}))$의 구조는 무엇인가?
• RQ2 $n=3$ 또는 $4$, $\mathrm{Gal}(f)$가 $S_3$, $A_4$, 또는 $S_4$이며, $q = p^r$이면서 $p$가 $n$을 나누지 않는 홀수 소수일 경우, $J(C_{f,q})$는 $k(t)$ 위에서 완전히 비동치인가?
• RQ3 $q=4$일 경우, 특히 $n=3$일 경우 내림사상 대수는 어떻게 변화하는가?
• RQ4 $q=p$가 홀수 소수일 경우, $\mathrm{End}(J(C_{f,q}))$는 명시적으로 계산할 수 있으며, 이는 순환체 $\mathbf{Q}(\zeta_p)$의 정수환과 일치하는가?
• RQ5 $q = 2^r$이면서 $r \geq 3$이고 $n=3$일 경우, $J(C_{f,q})$의 동치분해는 어떻게 되는가?

주요 결과

• $n=3$, $\mathrm{Gal}(f) = S_3$, $q = p$가 홀수 소수일 경우, $J(C_{f,p})$는 완전히 비동치이며, $\mathrm{End}(J(C_{f,p})) = \mathbf{Z}[\zeta_p]$이며, $\mathrm{End}^0(J(C_{f,p})) = \mathbf{Q}(\zeta_p)$이다.
• $n=4$, $\mathrm{Gal}(f) = S_4$ 또는 $A_4$, $q = p$가 홀수 소수일 경우, $J(C_{f,p})$는 완전히 비동치이며, $\mathrm{End}^0(J(C_{f,p})) = \mathbf{Q}(\zeta_p)$이며, $\mathrm{End}(J(C_{f,p})) = \mathbf{Z}[\zeta_p]$이다.
• $q = p^r$이면서 $p$가 홀수 소수이며 $n=3$ 또는 $4$일 경우, $\mathrm{End}^0(J(C_{f,q})) \cong \prod_{i=1}^r \mathbf{Q}(\zeta_{p^i})$이며, $J(C_{f,q})$는 완전히 비동치이다.
• $q=4$이고 $n=3$일 경우, $\mathrm{End}^0(J(C_{f,4})) \cong \mathbf{Q} \times \mathrm{Mat}_2(\mathbf{Q}(\sqrt{-1}))$이며, $J(C_{f,4})$는 $C_{f,2}: y^2 = f(x)$와 타원곡선 $y^3 = x^3 - x$의 제곱과의 곱과 동치형인다.
• $q = 2^r$이면서 $r > 2$이고 $n=3$일 경우, $\mathrm{End}^0(J(C_{f,q})) \cong \mathbf{Q} \times \mathrm{Mat}_2(\mathbf{Q}(\sqrt{-1})) \times \prod_{i=3}^r \mathbf{Q}(\zeta_{2^i})$이며, $J(C_{f,q})$는 완전히 비동치인 아벨 다양체, $C_{f,2}$, 그리고 $y^3 = x^3 - x$의 제곱을 포함하는 곱과 동치형인다.
• 결과적으로 $\mathbf{Z}[\zeta_q]$가 $\mathbf{Q}(\zeta_q)$ 내의 최대 순서임을 확인하였으며, 따라서 $q = p^r$가 홀수 소수의 거듭제곱일 경우 $\mathrm{End}(J(C_{f,q})) = \mathbf{Z}[\zeta_q]$임을 증명한다.