[논문 리뷰] Supergroupoids, double structures, and equivariant cohomology

Rajan Amit Mehta|ArXiv.org|2006. 05. 14.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 52인용 수 73

한 줄 요약

이 논문은 호모로지 벡터 장이 호환적으로 갖추어진 슈퍼군oids와 슈퍼대수oids인 Q-군oids와 Q-대수oids를 도입하고, 맥켄지의 LA-군oids와 이중 복합체 사이의 중개자 역할을 하도록 한다. Q-대수oids로부터 이중 복합체를 구성하여 BRST 모델의 등변 코homology, 리 대수쌍의 드린펠트 이중체, 진츠부르크의 등변 푸앵카레 코homology를 실현하며, Q-군oids와 Q-대수oids의 이중 복합체를 연결하는 바늘 에스트 맵의 슈퍼군oids 버전을 증명한다.

ABSTRACT

Q-groupoids and Q-algebroids are, respectively, supergroupoids and superalgebroids that are equipped with compatible homological vector fields. These new objects are closely related to the double structures of Mackenzie; in particular, we show that Q-groupoids are intermediary objects between Mackenzie's LA-groupoids and double complexes, which include as a special case the simplicial model of equivariant cohomology. There is also a double complex associated to a Q-algebroid, which in the above special case is the BRST model of equivariant cohomology. Other special cases include models for the Drinfel'd double of a Lie bialgebra and Ginzburg's equivariant Poisson cohomology. Finally, a supergroupoid version of the van Est map is used to give a homomorphism from the double complex of a Q-groupoid to that of a Q-algebroid.

연구 동기 및 목표

• 등변 코hom로지에 대한 슈퍼기하적 프레임워크를 Q-군oids와 Q-대수oids를 통해 개발하기 위해.
• 맥켄지의 LA-군oids와 이중 복합체를 Q-군oids를 중개 구조로 도입하여 연결하기 위해.
• 기존의 등변 코hom로지 모델, 특히 BRST와 푸앵카레 코hom로지 모델을 실현하는 Q-대수oids로부터 이중 복합체를 구성하기 위해.
• 바늘 에스트 맵을 슈퍼군oids로 일반화하여 Q-군oids와 Q-대수oids의 코hom로지 간의 준동형을 수립하기 위해.
• 단순 복합체의 매니폴드와 분류 공간의 기하적 실현을 통해 슈퍼기하적 맥락에서 등변 코hom로지를 기하학적으로 실현하기 위해.

제안 방법

• 호환 가능한 호모로지 벡터 장을 갖춘 슈퍼군oids와 슈퍼대수oids로 Q-군oids와 Q-대수oids를 정의하기 위해.
• 왼쪽으로 불변인 벡터 장과 곱셈 구조를 통해 Q-군oids와 Q-대수oids를 연결하기 위해 리 함수를 사용하기 위해.
• de Rham 미분과 단순 복합체 코 boundary 연산자를 사용하여 Q-대수oids로부터 이중 복합체를 구성하기 위해.
• Q-군oids의 이중 복합체와 그에 대응하는 Q-대수oids의 이중 복합체를 연결하기 위해 슈퍼군oids 버전의 바늘 에스트 맵을 적용하기 위해.
• 행동 군oids의 네트워크를 통해 분류 공간과 등변 코hom로지를 모델링하기 위해 단순 복합체의 매니폴드와 기하적 실현을 활용하기 위해.
• 스펙트럴 시퀀스의 추론과 분류 공간의 수축 가능성에 기반하여 이중 복합체의 총 코hom로지와 등변 코hom로지 사이의 동형을 확립하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Q-군oids는 맥켄지의 LA-군oids와 이중 복합체 사이에서 어떻게 다리 역할을 하는가?
• RQ2 Q-대수oids로부터 유도되는 이중 복합체의 구조는 무엇이며, 기존의 등변 코hom로지 모델을 어떻게 복원하는가?
• RQ3 바늘 에스트 맵은 슈퍼기하 맥락으로 일반화될 수 있는가? 이는 Q-군oids와 Q-대수oids의 코hom로지를 연결하는가?
• RQ4 Q-대수oids는 BRST 복합체와 진츠부르크의 등변 푸앵카레 코hom로지를 어떻게 모델링하는가?
• RQ5 단순 복합체의 매니폴드와 기하적 실현은 이 틀에서 등변 코hom로지를 실현하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• Q-군oids는 LA-군oids와 이중 복합체 사이의 중개 객체로 밝혀져 있으며, 이 구조들의 슈퍼기하적 통합을 제공한다.
• Q-대수oids와 관련된 이중 복합체는 BRST 모델의 등변 코hom로지의 특수한 경우로 실현된다.
• 동일한 이중 복합체 구성은 리 대수쌍의 드린펠트 이중체와 진츠부르크의 등변 푸앵카레 코호모로지 모델도 모델링한다.
• 슈퍼군oids 버전의 바늘 에스트 맵이 구성되어, Q-군oids의 이중 복합체에서 그에 대응하는 Q-대수oids의 이중 복합체로의 준동형을 유도한다.
• Q-대수oids의 이중 복합체의 총 코호모로지는 행동 군oids의 네트워크를 통해 실현된 등변 코호모로지 $ H^ullet_G(M) $ 와 동형이다.
• 분류 공간의 수축성 $ |N\bar{M}| $ 과 동형 $ |N\bar{G}|/G \to |NG| $ 는 분류 번들의 구조를 확인하며, 단순 복합체 맥락에서 보렐 모델을 검증한다.