[논문 리뷰] Superreplication under Volatility Uncertainty for Measurable Claims

Ariel Neufeld, Marcel Nutz|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 31.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 복리 불확실성 하에서 초과복제를 위한 이중성 공식을 수립하며, 모든 Borel 측정 가능 또는 상부 반연속 해석 함수 콘트리뷰션 클레임을 복제하기 위한 최소 초깃금액이 가능한 모든 복리 측도에 대한 기대 수익의 상한값으로 주어진다는 것을 증명한다. 이 접근법은 이전 결과를 확장하여 클레임에 대한 준연속성 가정이 필요 없도록 하며, 해석 집합 이론과 양의 복리가 있는 브라운 운동 마르티ン게일 측도의 일련의 가측성 조건을 새로운 방식으로 검증한다.

ABSTRACT

We establish the duality-formula for the superreplication price in a setting of volatility uncertainty which includes the example of "random G-expectation." In contrast to previous results, the contingent claim is not assumed to be quasi-continuous.

연구 동기 및 목표

• 클레임이 준연속이 아니라고 가정하지 않은 복리 불확실성 모델에서 초과복제를 위한 이중성 공식을 수립하는 것.
• 디지털 옵션과 실현 변동성 옵션과 같이 준연속성이 없는 측정 가능한 클레임들로 이중성 결과를 확장하는 것.
• 클레임과 확률 측도 집합에 대한 일반 조건 하에서 이중성 프레임워크의 강건성을 확인하는 것.
• 클레임에 연속성 가정이 없이도 초과복제 전략을 엄밀하게 구성하는 것.
• 양의 복리가 있는 브라운 운동 마르티ン게일 측도 집합(PS)이 핵심 가측성 및 불변 조건(조건 A)을 만족함을 검증하여 해석 집합 이론을 활용한 구성에 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 연속 경로 공간 위의 비동치 마르티ン게일 측도 집합 P를 통해 복리 불확실성을 수식화한다.
• 조건 (A)를 만족하는 {P(s,ω)} 가족을 사용하여 각 t와 ω에 대해 조건부 비선형 기대값 Et(ξ) = supP∈P(t,ω) EP[ξt,ω] 를 정의한다.
• 해석 집합 이론을 사용하여 ξ가 단지 Borel 측정 가능 또는 상부 반연속 해석 함수일 경우에도 Et(ξ)의 가측성을 보장한다.
• Y가 Et(ξ)의 오른쪽 연속 버전일 때, d⟨Y, B⟩ = H d⟨B⟩ 를 통해 과정 H를 구성함으로써, 모든 P ∈ P 에서 유니버설하게 정의된 H를 확보한다.
• PS(양의 복리가 있는 브라운 운동 마르티ン게일 법칙)의 측도들이 예측 가능한 표현 성질을 가지므로, 두브–마이어 분해의 마르티ン게일 부분을 이토 적분으로 표현한다.
• Fatou의 보조정리와 EP[ξ|G]에 의한 하한을 사용하여, 각 P ∈ P 에서 ∫₀ᵀ Hᵤ dBᵤ 가 슈퍼마르티나일을 보여줌으로써 구성된 전략 H가 H(허용 가능성)에 속한다는 것을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 준연속성이 없는 클레임에 대해서도 초과복제를 위한 이중성 공식을 확장할 수 있는가?
• RQ2 ξ가 단지 Borel 측정 가능 또는 상부 반연속 해석 함수일 경우에도 조건부 비선형 기대값 Et(ξ)는 여전히 가측적인가?
• RQ3 양의 복리가 있는 브라운 운동 마르티ン게일 측도 집합(PS)은 가측적이며 경로 기반 연산에 대해 불변하며 조건 (A)를 만족하는가?
• RQ4 클레임이 불연속일 경우에도 모든 P에 동시에 작동하는 유니버설한 초과복제 전략 H를 구성할 수 있는가?
• RQ5 해석 집합과 정규 조건부 확률 분포가 복리 불확실성 하에서 비선형 기대값을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 Borel 측정 가능 또는 상부 반연속 해석 함수 클레임 ξ에 대해 초과복제 가격은 x = supP∈P EP[ξ] 로 주어지며, 준연속성 가정 없이도 성립한다.
• 양의 복리가 있는 브라운 운동 마르티ン게일 법칙 집합 PS 는 조건 (A)를 만족하며, 이는 조건부 비선형 기대값의 가측성과 일관성을 보장한다.
• 오른쪽 연속 버전 Yt := Et+(ξ) 는 각 P ∈ P 에 대해 (G+, P)-슈퍼마르티나일을 정의하며, 이는 두브–마이어 분해의 적용을 가능하게 한다.
• 초과복제 전략 H 는 d⟨Y, B⟩ = H d⟨B⟩ 를 통해 경로 기반으로 구성되며, 이로써 모든 P ∈ P 에서 H 가 유니버설하게 정의된다.
• 전략 H 는 ∫₀ᵀ Hᵤ dBᵤ 가 각 P ∈ P 에서 슈퍼마르티나일 뿐 아니라 EP[ξ|G] 에 의해 하한이 있으며 Fatou의 보조정리를 만족하므로 H ∈ H (허용 가능성)임을 증명한다.
• 구성 과정은 이중성 프레임워크의 강건성을 확인하며, 디지털 옵션, 실현 변동성 옵션, 최적 정지 시점에서 평가된 미국형 옵션과 같은 클레임으로까지 확장된다.