[논문 리뷰] Supersingular abelian surfaces and Eichler class number formula

Jiangwei Xue, Tse-Chung Yang외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 11.

Coding theory and cryptography참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 브랜드트 행렬과 표현론적 방법을 사용하여 유한체 $fl_p$ 위의 초특이 아벨 표면의 동형류 수를 계산하기 위해 아이클러의 계수수 공식을 일반화한다. 모든 소수 $p$에 대해 명시적인 공식을 제공하며, 종속적인 전체 히 quaternion 대수를 갖는 실이차수체 위의 전체 히 quaternion 대수인 예외적 케이스의 수를 해결한다.

ABSTRACT

Let $F$ be a totally real field with ring of integers $O_F$, and $D$ be a totally definite quaternion algebra over $F$. A well-known formula established by Eichler and then extended by Körner computes the class number of any $O_F$-order in $D$. In this paper we generalize the Eichler class number formula so that it works for arbitrary $\mathbb{Z}$-orders in $D$. The motivation is to count the isomorphism classes of supersingular abelian surfaces in a simple isogeny class over a prime finite field $\mathbb{F}_p$. We give explicit formulas for the number of these isomorphism classes for all primes $p$.

연구 동기 및 목표

• 전체 실체 위의 전체 히 quaternion 대수에서의 임의의 $fl$-주문에 대해 아이클러의 계수수 공식을 확장한다.
• 고정된 이소지니 클래스 내에서 $fl_p$-동형류 수를 명시적으로 세는 것.
• 고전적 데우링 이론이 다루지 않는, 종속적인 전체 히 quaternion 대수를 갖는 실이차수체 위의 히 quaternion 대수인 경우를 해결하는 것.
• 모든 소수 $p$에 대해 동형류 수의 완전한 공식을 제공하며, 질량 항과 타원 곡선 항을 분리한다.

제안 방법

• 브랜드트 행렬의 추적 공식을 사용하여 전체 실체 위의 전체 히 quaternion 대수에서의 $fl$-주문에 대해 아이클러의 계수수 공식을 일반화한다.
• 혼다-테이트 이론을 활용하여 $p$-웨일 수를 $fl_p$ 위의 아벨 다양체의 이소지니 클래스와 연결한다.
• 워터하우스 이론을 사용하여 고정된 이소지니 클래스 내의 아벨 다양체의 동형류와 $R_0$-이deals 클래스를 연결한다.
• 브랜드츠 행렬의 표현론적 해석을 통해 계수수 공식의 질량 항과 타원 곡선 항을 계산한다.
• 최적 임bedding 이론과 국소 불변량을 적용하여 전역 체 위에서 브랜드츠 행렬의 추적을 계산한다.
• 소수 $p < 200$에 대해 Magma 소프트웨어를 사용한 명시적 계산을 통해 결과를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아이클러의 계수수 공식은 전체 실체 위의 전체 히 quaternion 대수에서의 임의의 $fl$-주문으로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 주어진 이소지니 클래스 내에서 $fl_p$-동형류 수의 정확한 수는 얼마인가?
• RQ3 종속적인 전체 히 quaternion 대수를 갖는 실이차수체 위의 히 quaternion 대수인 경우에서 계수수 공식의 질량 항과 타원 곡선 항은 어떻게 행동하는가?
• RQ4 모든 소수 $p$에 대해, 특히 $F = fl(fl{p})$인 예외적 케이스 $fl = fl_p$에 대해서도 동형류 수를 명시적으로 표현할 수 있는가?
• RQ5 $R_0$-이데알의 계열의 구조는 무엇이며, 이는 주문의 계수수와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 논문은 모든 소수 $p$에 대해 초특이 아벨 표면의 $fl_p$-동형류 수에 대한 명시적 공식을 제공하며, 초특이 타원 곡선에 대한 고전적 공식을 일반화한다.
• 특수 케이스에서 $F = fl(fl{p})$가 실이차수체일 경우, 동형류 수는 계수수 공식의 질량 항과 타원 곡선 항의 합으로 주어진다.
• 질량 항은 $rac{1}{2} ext{Tr}(B)$로 계산되며, 여기서 $B$는 브랜드츠 행렬이며, 타원 곡선 항은 추가적인 자기동형사상에 기인한다.
• 표 1–3은 $5 < p < 200$ 이며 $p \neq 2, 3$ 이며 $p \neq 1 \bmod 4$ 인 모든 소수에 대해 $h(fl_8)$, $h(fl_{16})$ 및 해당 질량 항과 타원 곡선 항을 나열한다.
• 특히 $p = 13$일 경우, $R_0$-주문이 $fl_8$인 이소지니 클래스 내의 동형류 수는 $h(fl_8) = 2$이며, 질량 항은 $5/12$, 타원 곡선 항은 $19/12$이다.
• 특히 $p = 193$일 경우, $h(fl_{16}) = 54$이며, 질량 항은 $49$, 타원 곡선 항은 $5$로, 이는 소수가 커질수록 계수수가 크게 증가함을 보여준다.