[논문 리뷰] Supersymmetric field theories and geometric Langlands: The other side of the coin

Aswin Balasubramanian, J. Teschner|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 01.

Advanced Algebra and Geometry인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 표면 연산자를 포함한 일반화된 AGT 대응의 Nekrasov-Shatashvili 한계로 기하학적 리만-랭랜즈 대응을 식별하여, 초대칭 게이지 이론, 등각 장 이론(CFT), 기하학적 리만-랭랜즈 프로그램을 통합하는 프레임워크를 수립한다. 이로써 유도된 이중성은 히친 모듈리 공간을 목표 다양체로 하는 2차원 시그마 모델을 통해 실현되며, 비아벨 히든-호지 대응과 N=4 SYM의 토폴로지컬 투습을 통해 양자 기하학적 리만-랭랜즈 이중성의 물리적 실현이 이루어진다.

ABSTRACT

This note announces results on the relations between the approach of Beilinson and Drinfeld to the geometric Langlands correspondence based on conformal field theory, the approach of Kapustin and Witten based on $N=4$ SYM, and the AGT-correspondence. The geometric Langlands correspondence is described as the Nekrasov-Shatashvili limit of a generalisation of the AGT-correspondence in the presence of surface operators. Following the approaches of Kapustin - Witten and Nekrasov - Witten we interpret some aspects of the resulting picture using an effective description in terms of two-dimensional sigma models having Hitchin's moduli spaces as target-manifold.

연구 동기 및 목표

• 기하학적 리만-랭랜즈의 맥락에서 Beilinson-Drinfeld의 CFT 접근법, Kapustin-Witten의 N=4 SYM 접근법, AGT 대응을 통합하기 위해.
• 편의성의 일반화를 넘어 일반적인 기약 국소계열을 다루기 위해 애페인 카크-무디 대수의 열화된 표현을 이용한 conformal block에서의 기하학적 리만-랭랜즈 대응을 확장하기 위해.
• 히친 모듈리 공간을 목표 다양체로 하는 효과적인 2차원 시그마 모델을 통해 유도된 이중성 프레임워크를 해석하기 위해.
• 표면 연산자와 Nekrasov-Shatashvili 한계가 양자 기하학적 리만-랭랜즈 이중성을 실현하는 데서 수행하는 역할를 명확히 하기 위해.
• 비아贝尔 히든-호지 대응과 복소 Fenchel-Nielsen 좌표를 게이지 이론에서 리만-랭랜즈 이중성의 물리적 실현과 연결하기 위해.

제안 방법

• 표면 연산자를 포함한 일반화된 AGT 대응의 Nekrasov-Shatashvili 한계를 활용하여 기하학적 리만-랭랜즈 대응을 유도한다.
• 비아贝尔 히든-호지(NAH) 대응을 적용하여 조화 메트릭과 헬로모르픽 ǫ-연결을 통해 허그 번들 (E, ϕ)과 평탄한 접속 (∇ζ,R)을 연결한다.
• Ward 항등식과 U(ˆg−h∨)의 중심을 이용하여 ˆg의 임계 수준 k = −h∨에서의 conformal block을 통해 BunG 위의 D-모듈을 구성한다.
• 히친의 양자화 가능한 체계를 활용하여 모듈리 공간 MH(G)를 H0(C, K²) 위의 토러스 피브레이션으로 기술하며, 해밀토니언이 기저 좌표를 매개변수화한다.
• 복소 Fenchel-Nielsen 좌표 (ar, κr)를 이용하여 특성 다양체 MB(G)를 매개변수화하며, 자연스러운 파울리 구조 {ar, κs} = δrs를 가진다.
• Σ×C 위의 N=4 SYM에 토폴로지컬 투습을 적용하여 Kapustin-Witten 접근법을 실현하고, 평탄한 접속과 국소계열 간의 호몰로지 표현을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표면 연산자를 포함한 일반화된 AGT 대응의 Nekrasov-Shatashvili 한계에서 기하학적 리만-랭랜즈 대응은 어떻게 유도되는가?
• RQ2 2차원 시그마 모델을 통한 이중성 실현에서 히친 모듈리 공간이 목표 다양체로 기능하는 데서의 역할은 무엇인가?
• RQ3 Beilinson-Drinfeld의 conformal block 구성에서 opers를 초월한 일반적인 기약 LG-국소계열은 어떻게 실현되는가?
• RQ4 기하학적 리만-랭랜즈 맥락에서 비아贝尔 히든-호지 대응은 허그 번들과 평탄한 접속 간의 매개체로 어떻게 작용하는가?
• RQ5 복소 Fenchel-Nielsen 좌표와 NAH 대응은 어떻게 양자 기하학적 리만-랭랜즈 이중성 패턴을 실현하는가?

주요 결과

• 일반적인 기약 LG-국소계열에 대한 기하학적 리만-랭랜즈 대응은 열화된 표현이 특이점에 삽입된 ˆg−h∨의 conformal block으로 실현되며, opers 기반 구성의 일반화이다.
• 일반화된 AGT 대응의 Nekrasov-Shatashvili 한계는 opers를 초월한 모든 국소계열을 포함한 전체 기하학적 리만-랭랜즈 대응을 유도한다.
• 허그 번들의 모듈리 공간 MH(G)는 이중성을 실현하는 효과적인 2차원 시그마 모델의 목표 공간으로 기능하며, 히친의 해밀토니언이 자연스러운 좌표를 제공한다.
• 비아벨 히든-호지 대응은 허그 쌍 (E, ϕ)을 평탄한 접속 ∇ζ,R로 매핑하며, ǫ-연결 ∇′ǫ = ǫ∂E,h + ϕ는 헬로모르픽 한계로 나타난다.
• 복소 Fenchel-Nielsen 좌표 (ar, κr)는 특성 다양체 MB(G) 위의 다르부 좌표를 제공하며, {ar, κs} = δrs를 만족하며, MH(G)의 심플렉틱 구조와 연결된다.
• NAH 대응에 의해 (u, 0) ∈ MH(LG)의 상은 실수 호몰로지와 교차하는 연결을 가지며, 이는 운영 지역과 이산적으로 만남으로써 이중성 패턴을 지지한다.