[논문 리뷰] Supersymmetric gauge theories on the lattice: Pfaffian phases and the Neuberger 0/0 problem

Dhagash Mehta, Simon Catterall외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 22.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 16인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 격자 상에서 2차원 ${\cal N}=(2,2)$ 초대칭 양-밀스 이론에서 페르미온의 부호 문제를 조사하며, 지수(콤팩트) 게이지 링크 매개변수화를 사용할 경우 네우버거 $0/0$ 문제로 인해 문제가 발생함을 보여준다. 비슷하게, 비콤팩트 매개변수화로 전환하면 조밀한 격자에서도 부호 문제를 제거할 수 있으며, 이는 격자 형식에서 베치-루에-스토라-티우틴 대칭의 붕괴와 부호 문제를 연결하는 이론적 설명을 제공한다.

ABSTRACT

Recently a class of supersymmetric gauge theories have been successfully implemented on the lattice. However, there has been an ongoing debate on whether lattice versions of some of these theories suffer from a sign problem, with independent simulations for the ${\cal N} = (2, 2)$ supersymmetric Yang-Mills theories in two dimensions yielding seemingly contradictory results. Here, we address this issue from an interesting theoretical point of view. We conjecture that the sign problem observed in some of the simulations is related to the so called Neuberger 0/0 problem, which arises in ordinary non-supersymmetric lattice gauge theories, and prevents the realization of Becchi-Rouet-Stora-Tyutin symmetry on the lattice. After discussing why we expect a sign problem in certain classes of supersymmetric lattice gauge theories far from the continuum limit, we argue that these problems can be evaded by use of a non-compact parametrization of the gauge link fields.

연구 동기 및 목표

• 격자 상에서 2D ${\cal N}=(2,2)$ SYM의 페르미온 부호 문제에 대한 모순되는 시뮬레이션 결과의 근본 원인을 조사하기 위해.
• 부호 문제가 게이지 링크 매개변수화의 산물인지 여부를 확인하기 위해, 특히 지수(콤팩트) 표현과 비콤팩트 표현을 비교하기 위해.
• 이러한 이론에서의 부호 문제가 네우버거 $0/0$ 문제의 확장임을 시험하기 위해.
• 비콤팩트 매개변수화로 게이지 링크를 전환하면 부호 문제를 피할 수 있음을 보여주어 신뢰할 수 있는 격자 시뮬레이션을 가능하게 한다.

제안 방법

• 저자들은 페르미온 행렬의 페프피안을 사용하여 격자 분할 함수를 분석하며, 부호 문제의 원인은 페프피안의 위상에서 기인한다.
• 지수(콤팩트)와 비콤팩트 두 가지 게이지 링크 매개변수화 방식을 비교한다. 후자는 리 대칭군에 속하며 군의 위상 기하학적 문제를 피한다.
• 반치수 경계 조건을 가진 피-phase-queched 몬테카를로 시뮬레이션을 수행하고, 페프피안의 평균 위상 각도 $\alpha$ 를 측정한다.
• 장의 변동성을 안정화하고 $\mu \to 0$ 으로의 외삽을 가능하게 하기 위해 질량 항 $\mu \sum_n \text{Tr}[(U_a^\dagger({\bf n})U_a({\bf n}) - 1)^2]$ 을 추가한다.
• 차원 없는 결합 상수 $\kappa = (NT^2)/(2\lambda\beta^2)$ 를 사용하며, 연속 극한에 접근하기 위해 격자 크기 $L = T$ 를 2에서 12까지 변화시킨다.
• 부호 문제의 심각도를 정량화하기 위해 페프피안 위상 $\alpha$ 와 $\langle |\sin \alpha| \rangle$ 의 히스토그램을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 격자 상에서 2D ${\cal N}=(2,2)$ SYM의 페르미온 부호 문제는 게이지 링크 필드의 매개변수화 방식에 의존하는가?
• RQ2 지수적 게이지 링크를 사용한 시뮬레이션에서 관측된 부호 문제는 네우버거 $0/0$ 문제의 표현인가?
• RQ3 비콤팩트 매개변수화를 사용하면 부호 문제를 피할 수 있는가?
• RQ4 비콤팩트 형식에서 부호 문제가 없음을 고려할 때, 이는 초대칭 게이지 이론의 비추상적 연구를 위한 실현 가능한 길을 제공하는가?

주요 결과

• 비콤팩트 매개변수화에서는 조밀한 격자($L=2$)에서도 부호 문제가 관측되지 않으며, 이는 $\langle |\sin \alpha| \rangle$ 가 안정적이고 작다는 것으로 나타난다.
• 지수(콤팩트) 매개변수화에서는 연속 극한에서 벗어날수록 심각한 부호 문제가 나타나며, 이는 큰 변동성과 비영인 평균 위상 각도로 나타난다.
• 지수적 경우의 부호 문제는 유한한 격자 간격에서 가장 심각하며, 연속 극한에서만 약화되며, 이는 네우버거 $0/0$ 문제가 격자 기반의 산물임을 뒷받침한다.
• 비콤팩트 매개변수화에서는 군 다양체와 연관된 위상적 장애물을 피함으로써 네우버거 $0/0$ 문제와 관련된 부호 문제를 피한다.
• 결과는 이 클래스의 격자 초대칭 이론에서의 부호 문제가 네우버거 $0/0$ 문제의 확장임을 지지하는 것으로, 수치적 시뮬레이션은 부호 문제가 매개변수화에 따라 달라지며, 비콤팩트 장이 유한한 격자 간격에서도 안정적인 시뮬레이션을 가능하게 함을 확인한다.