[논문 리뷰] Supersymmetric gauge theories, quantisation of moduli spaces of flat connections, and Liouville theory

Jörg Teschner|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 22.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 17인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 4차원 N=2 계열 S 초대칭 게이지 이론, 리emann 곡면 위의 평탄한 PSL(2,R)-접속의 모듈리 공간의 양자화, 그리고 2차원 리iouville 양자역학 이론 사이의 깊은 연결 고리를 설정한다. AGT 대응관계는 초대칭 윌슨-'트 호프 연산자 대수와 모듈리 공간 상의 적분 함수 대수 사이의 동형사상에서 유래되며, 오메가 변형에 의한 비가환성은 모듈리 공간의 양자화와 정확히 일치한다. 리iouville 이론의 등각 블록들은 이 대수의 양자 표현을 실현한다.

ABSTRACT

This is the 11th article in the collection of reviews "Exact results in N=2 supersymmetric gauge theories", ed. J. Teschner. It describes an approach to understanding the 4d/2d relations discovered by Alday, Gaiotto and Tachikawa by establishing a triangle of relations between the zero mode quantum mechanics obtained by localisation of class $\cal S$ theories, the quantum theory obtained by quantisation of Hitchin moduli spaces, and conformal field theory.

연구 동기 및 목표

• 리emann 곡면 위에서 정의된 (SU(2))^h 게이지 군과 (SU(2))^n 대칭을 갖는 계열 S 게이지 이론을 이용해, 평탄한 접속의 모듈리 공간의 양자화를 통해 AGT 대응관계를 설명하는 것.
• 초대칭 윌슨 및 '트 호프 루프 연산자로 생성되는 대수를 평탄한 PSL(2,R)-접속의 모듈리 공간 상의 적분 함수 대수와 일치시키는 것.
• 오메가 변형 하에서 이 대수의 비가환성이, 푸아송 체계와 심플렉틱 형식으로 정의된 모듈리 공간의 양자화와 정확히 일치하는지 보여주는 것.
• 포크-고나르초프 좌표 (X_e) 와 푸아송 브라켓 {X_e, X_f} = n_{e,f} X_e X_f 를 사용하여 양자 대수를 구성하는 것, 여기서 n_{e,f} 는 부호를 고려한 공통된 면의 수를 세는 것이다.
• 리iouville 이론의 등각 블록이 양자 적분 함수 대수의 자연스러운 표현 공간으로 실현되며, 이들의 구조 상수는 모듈리 공간의 푸아송 대수와 일치하는지 보여주는 것.
• S-duality 와 드레인 투습을 이용해 동일한 게이지 이론의 서로 다른 라그랑지안 기술을 연결하며, 결합 상수 τ 가 모듈리 변환에 의해 관련되는 방식을 설명하는 것.

제안 방법

• 리emann 곡면 C 위에서 정의된 (SU(2))^h 게이지 군과 (SU(2))^n 대칭을 갖는 계열 S 게이지 이론을 사용하며, 복소 구조 모듈리 τ 로 매개변수화된다.
• 초대칭 루프 연산자 대수를 평탄한 PSL(2,R)-접속의 모듈리 공간 M_flat 상의 적분 함수 대수와 일치시키는 것.
• 오메가 변형 하에서 루프 연산자 대수의 비가환성이, 푸아송 체계와 심플렉틱 형식으로 정의된 M_flat 의 양자화와 정확히 일치하는지 보여주는 것.
• 포크-고나르초프 좌표 (X_e) 와 푸아송 브라켓 {X_e, X_f} = n_{e,f} X_e X_f 를 사용하여 양자 대수를 구성하는 것, 여기서 n_{e,f} 는 공통된 면을 부호와 함께 세는 것이다.
• 리iouville 이론의 등각 블록이 양자 적분 함수 대수의 표현 공간으로 실현되며, 이들의 구조 상수는 모듈리 공간의 푸아송 대수와 일치하는지 보여주는 것.
• S-duality 와 드레인 투습을 이용해 동일한 게이지 이론의 서로 다른 라그랑지안 기술을 연결하며, 결합 상수 τ 가 모듈리 변환에 의해 관련되는 방식을 설명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 N=2 게이지 이론에서의 초대칭 루프 연산자 대수는 평탄한 접속의 모듈리 공간 상의 적분 함수 대수와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 게이지 이론의 오메가 변형과 평탄한 접속의 모듈리 공간의 양자화 사이의 정확한 대응관계는 무엇인가?
• RQ3 리iouville 이론의 등각 블록은 어떻게 적분 함수 대수의 양자 표현을 실현하는가?
• RQ4 루프 연산자, 모듈리 공간 기하학, 초대칭의 상호작용으로부터 AGT 대응관계는 어떻게 유도되는가?
• RQ5 4-구면에서의 루프 연산자 기대값으로부터 계열 S 이론의 저에너지 유사 게이지 이론이 어떻게 재구성될 수 있는가?

주요 결과

• 초대칭 윌슨 및 '트 호프 루프 연산자로 생성되는 대수는 리emann 곡면 C 위의 평탄한 PSL(2,R)-접속의 모듈리 공간 상의 적분 함수 대수와 동형이다.
• 오메가 변형에 의해 도입된 비가환성은 푸아송 체계와 심플렉틱 형식으로 정의된 모듈리 공간의 양자화와 정확히 일치한다.
• 적분 함수 L_γ 에 대한 푸아송 브라켓은 {L_γ₁, L_γ₂} = L_{A(γ₁,γ₂)} 로 주어지며, 여기서 A 는 반대칭 스무딩 연산으로, 아티야- bott 심플렉틱 기하학과 일치한다.
• 펜클-니엘센 좌표 (l,k) 는 다르부 좌표이며 {l,k} = 2 이며, 포크-고나르초프 좌표에서의 푸아송 구조는 {X_e^τ, X_f^τ} = n_{e,f} X_e^τ X_f^τ 이다.
• 리iouville 이론의 등각 블록은 양자 적분 함수 대수의 유니터리 표현을 제공하며, 이들의 구조 상수는 다항식 관계 P(L_s, L_t, L_u) = 0 와 일치한다.
• AGT 대응관계는 루프 연산자 대수와 양자 모듈리 공간 사이의 동형사상, 유지된 초대칭성, S-duality 를 바탕으로 유도되며, 저에너지 효과적 게이지 이론은 루프 기대값으로부터 재구성될 수 있다.