[논문 리뷰] Supersymmetric index on T^2 x S^2 and elliptic genus

Masazumi Honda, Yutaka Yoshida|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 16.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 51인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 초대칭 국소화를 통해 4차원 $χ=1$ SUSY 게이지 이론의 초대칭 분할 함수가 $T^2 \times S^2$ 위에서 2차원 $(0,2)$ SUSY 게이지 이론의 타원형을 정확히 대응시킴으로써, 4차원 Seiberg dualities가 2차원 $(0,2)$ triality를 암시하고, K3 타원형을 유도하는 두 가지 다른 4차원 이론이 존재함을 규명함으로써 새로운 4차원 이중성을 제안함. 이는 게이노 제로 모드와 호로노미 모드를 정확히 고려함으로써, Jefferey-Kirwan 잔여치 규정과 일치하는 공식을 유도함.

ABSTRACT

We study partition function of four-dimensional $\mathcal{N}=1$ supersymmetric field theory on $T^2 imes S^2$. By applying supersymmetry localization, we show that the $T^2 imes S^2$ partition function is given by elliptic genus of certain two-dimensional $\mathcal{N}=(0,2)$ theory. As an application, we discuss a relation between 4d Seiberg duality duality and 2d $(0,2)$ triality, proposed by Gadde, Gukov and Putrov. In other examples, we identify 4d theories giving elliptic genera of K3, M-strings and E-strings. In the example of K3, we find that there are two 4d theories giving the elliptic genus of K3. This would imply new four-dimensional duality.

연구 동기 및 목표

• 초대칭 국소화를 사용하여 4차원 $χ=1$ SUSY 게이지 이론의 $T^2 \times S^2$ 위에서 정확한 초대칭 분할 함수를 유도하는 것.
• 4차원 분할 함수와 2차원 $(0,2)$ SUSY 게이지 이론의 타원형 사이의 정확한 대응 관계를 수립하는 것.
• 이 대응 관계가 Gadde, Gukov, 및 Putrov가 제안한 4차원 Seiberg 이중성과 2차원 $(0,2)$ 트라이얼리티에 미치는 영향을 탐구하는 것.
• 기존의 2차원 타원형, 예를 들어 K3, M-스트링, E-스트링의 타원형을 재현하는 4차원 이론을 특정하는 것.

제안 방법

• 초대칭 국소화를 적용하여 $T^2 \times S^2$ 분할 함수를 계산하고, 국소화 위치를 $T^2$ 위의 호로노미와 게이노 제로 모드로 식별함.
• Jefferey-Kirwan 잔여치 공식을 사용하여 경로 적분을 평가하고, 비제로 모드 행렬식과 제로 모드 기여를 모두 포함함.
• 초대칭을 유지하는 배경 게이지 장과 경계 조건을 갖춘 4차원 이론을 $T^2 \times S^2$ 위에 구성함.
• 운동량과 R-스핀 연산자를 2차원의 플라버 및 R-대칭 전하로 식별함으로써 4차원 분할 함수를 2차원 $(0,2)$ 이론의 타원형으로 매핑함.
• 분할 함수의 모듈러 성질을 유도하고, 기존의 2차원 타원형 결과와의 일관성을 확인함.
• 모노폴 제로 모드와 $S^2$ 위의 구면 조화함수의 역할을 분석하여 일차원 결정을 정확히 캐치함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 4차원 $χ=1$ SUSY 게이지 이론의 $T^2 \times S^2$ 위에서의 초대칭 분할 함수는 2차원 타원형과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 게이노 제로 모드를 포함한 국소화를 통해 4차원 $T^2 \times S^2$ 분할 함수를 완전히 계산할 수 있는가?
• RQ3 4차원 이론에서의 Seiberg 이중성은 해당 2차원 이론에서의 2차원 $(0,2)$ 트라이얼리티를 암시하는가?
• RQ4 어떤 4차원 이론이 K3, M-스트링, E-스트링의 타원형을 재현하는가?
• RQ5 동일한 2차원 타원형을 갖는 새로운 4차원 이중성이 존재하는가?

주요 결과

• 4차원 $χ=1$ SUSY 게이지 이론의 $T^2 \times S^2$ 분할 함수는 정확히 2차원 $(0,2)$ SUSY 게이지 이론의 타원형과 일치한다.
• 분할 함수는 호로노미와 게이노 제로 모드의 기여를 포함한 Jefferey-Kirwan 잔여치 공식을 통해 계산되었으며, 이는 이전의 불완전한 분석을 해결함.
• 게이노 제로 모드를 정확히 포함할 때만 4차원 분할 함수가 2차원 타원형과 일치하며, 이는 이전 연구에서 이를 생략한 결과 오류를 수정함.
• K3 타원형을 동일하게 유도하는 두 가지 다른 4차원 이론이 발견되어, 이는 이전에 알려지지 않은 새로운 4차원 이중성임을 시사함.
• 4차원 SQCD 이론 간의 Seiberg 이중성은 2차원 $(0,2)$ 트라이얼리티를 암시하며, Gadde-Gukov-Putrov 제안의 필드 이론적 실현을 제공함.
• 이 구성은 M-스트링과 E-스트링의 타원형을 4차원 SUSY 게이지 이론으로 성공적으로 재현하여, 이 매핑의 보편성을 확인함.