[논문 리뷰] Supersymmetric Integrable Hierarchies and String Theory

Sonia Stanciu|arXiv (Cornell University)|1994. 07. 28.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 박사학위논문은 형식적 슈퍼편미분연산자와 그에 관련된 파울슨 괄호를 사용하여 슈퍼대칭 Lax 형식을 개발하고, 세 가지 슈퍼대칭 KP 계열(모형 MRSKP, $σ$KP2, JSKP)을 수립한다. 이 모든 경우에서 추가 대칭의 대수는 슈퍼미분연산자의 리대수와 동형임을 증명하며, sKdV-B 계열이 이중해밀토니안임을 규명하고, 이상한 흐름을 도입하여 비틀림된 슈퍼대칭 KdV 유사 통합계를 제안한다. 이는 비임계 슈퍼스트링 이론과 관련된 새로운 통합계를 제공한다.

ABSTRACT

This thesis is roughly organized into two parts. The first one (the first three chapters), expository in nature, attempts to place the current work in context: at first historically, but then focusing on the Lax formalism and the Adler--Gel'fand--Dickey scheme for hierarchies of the KdV type. The second part (the last four chapters) comprises the main body of this work. It begins by developing the supersymmetric Lax formalism, introducing the ring of formal superpseudodifferential operators and the associated Poisson structures. We discuss three supersymmetric extensions of the KP hierarchy (MRSKP, \SKP2, and JSKP). We define and compute their additional symmetries and we find that the algebra of additional symmetries are in all three cases isomorphic to the Lie algebra of superdifferential operators. We discuss a new reduction of \SKP2 and the relation between MRSKP and \SKP2 is clarified. Finally we consider the (so far) only integrable hierarchy to have played a role in noncritical superstring theory (sKdV-B). We identify it, prove its bihamiltonian integrability, and extend it by odd flows. We close with a discussion of new integrable supersymmetrizations of the KdV-like hierarchies suggested by the study of sKdV-B. (This is the author's PhD Thesis from the Physics Deparment of the University of Bonn, July 1994.)

연구 동기 및 목표

• 스트링 이론과 수학적 물리학의 맥락에서 슈퍼대칭 통합계의 연구를 놓는다.
• 형식적 슈퍼편미분연산자와 관련 파울슨 괄호를 사용하여 Lax 형식의 슈퍼대칭 확장 방법을 개발한다.
• 세 가지 슈퍼대칭 KP 계열(MRSKP, $σ$KP2, JSKP)을 분석하고, 그들의 추가 대칭 대수를 규명한다.
• MRSKP와 $σ$KP2 계열 간의 관계를 명확히 하고, $σ$KP2의 새로운 축소를 제안한다.
• 비임계 슈퍼스트링 이론과 관련된 sKdV-B 계열을 이중해밀토니안으로 확인하고, 이상한 흐름을 도입하여 통합성을 유지하면서 확장한다.

제안 방법

• 형식적 슈퍼편미분연산자의 환과 그에 관련된 파울슨 괄호를 사용하여 형식을 수립한다.
• Lax 형식을 슈퍼대칭 환경으로 확장하여 슈퍼대칭 통합계의 계열을 구성할 수 있도록 한다.
• 슈퍼편미분연산자 프레임워크를 사용하여 추가 대칭을 정의하고 계산한다.
• 추가 대칭의 대수적 구조를 분석하고, 슈퍼미분연산자의 리대수와 동형임을 보여준다.
• 해밀턴 연산자와 파울슨 괄호를 통해 sKdV-B 계열이 이중해밀토니안 시스템임을 규명한다.
• 이상한 흐름을 도입하여 sKdV-B 계열을 확장하고, 통합성을 유지하면서 새로운 슈퍼대칭 KdV 유사 시스템을 드러낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 MRSKP, $σ$KP2, JSKP와 같은 슈퍼대칭 KP 유형 계열의 추가 대칭의 구조는 무엇인가?
• RQ2 MRSKP와 $σ$KP2 계열은 어떻게 관련되어 있으며, $σ$KP2에 대해 새로운 축소를 일관적으로 정의할 수 있는가?
• RQ3 비임계 슈퍼스트링 이론과 관련된 sKdV-B 계열은 이중해밀토니안이고 통합 가능한가?
• RQ4 sKdV-B 계열은 이상한 흐름을 통해 일관되게 확장되어 새로운 통합계를 도출할 수 있는가?
• RQ5 sKdV-B의 연구를 통해 새로운 슈퍼대칭 KdV 유사 계열의 일반화는 무엇인가?

주요 결과

• MRSKP, $σ$KP2, JSKP의 추가 대칭 대수는 슈퍼미분연산자의 리대수와 동형이다.
• $σ$KP2에 대한 새로운 축소가 구성되었으며, 이는 그 구조와 다른 슈퍼대칭 계열들과의 관계를 명확히 한다.
• sKdV-B 계열이 이중해밀토니안임을 증명하여, 그 통합성과 비임계 슈퍼스트링 이론에서의 관련성을 확인한다.
• sKdV-B 계열이 이상한 흐름을 통해 확장되었으며, 통합성이 유지되고 새로운 슈퍼대칭 구조가 드러난다.
• sKdV-B의 구조에 기반하여 새로운 통합 가능한 슈퍼대칭 KdV 유사 계열의 일반화가 제안된다.