[논문 리뷰] Supersymmetric partition functions on Riemann surfaces

Francesco Benini, Alberto Zaffaroni|BOA (University of Milano-Bicocca)|2016. 05. 19.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 41인용 수 63

한 줄 요약

이 논문은 종수 $g$ 인 리만 곡면 위에서 부분적으로 토폴로지적 테이블을 가진 2차원 $\mathcal{N}=(2,2)$, 3차원 $\mathcal{N}=2$, 4차원 $\mathcal{N}=1$ 게이지 이론의 초대칭 분할 함수에 대해 압축적이고 정확한 공식을 제시한다. $\Sigma_g \times T^n$ 위에서 초대칭 국소화를 통해, 베테 앙사츠 방정식과 제피리-키르완 잔여치를 포함하는 보편적인 표현식을 유도하였으며, 이는 이전의 $g=0$ 결과를 일반화하고, 이중성의 새로운 테스트와 AdS$_4$ 내 블랙홀 엔트로피의 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We present a compact formula for the supersymmetric partition function of 2d N=(2,2), 3d N=2 and 4d N=1 gauge theories on $Σ_g imes T^n$ with partial topological twist on $Σ_g$, where $Σ_g$ is a Riemann surface of arbitrary genus and $T^n$ is a torus with n=0,1,2, respectively. In 2d we also include certain local operator insertions, and in 3d we include Wilson line operator insertions along $S^1$. For genus g=1, the formula computes the Witten index. We present a few simple Abelian and non-Abelian examples, including new tests of non-perturbative dualities. We also show that the large N partition function of ABJM theory on $Σ_g imes S^1$ reproduces the Bekenstein-Hawking entropy of BPS black holes in AdS$_4$ whose horizon has $Σ_g$ topology.

연구 동기 및 목표

• 구종수($g=0$)에서부터 임의의 종수 리만 곡면 $\Sigma_g$로 초대칭 분할 함수를 일반화하기.
• 2차원, 3차원, 4차원 $\mathcal{N}$-초대칭 게이지 이론에 대한 분할 함수 계산을 위한 통합 프레임워크 개발하기.
• 풍미 플럭스, 2차원에서의 휘어진 캐럴 연산자, 3차원에서의 윌슨 라인을 포함하고, $g=1$일 때의 위튼 지수를 계산하기.
• 이론적 형식을 비중력 이중성의 테스트와 ABJM 이론에서의 블랙홀 엔트로피 계산에 적용하기.
• 종수 $g$ 보다 높은 경우의 압축적 복합화를 위한 보편 공식 유도: 베테 앙사츠 방정식과 제피리-키르완 잔여치 포함.

제안 방법

• 초대칭 국소화를 적용하여 경로 적분을 BPS 구성에 대한 유한 차원 적분으로 축소하기.
• $\Sigma_g$ 위에서 부분적인 토폴로지적 테이블을 사용하여 초대칭의 절반을 유지하고, R 대칭을 스핀 접속과 연결하기.
• 배경 플럭스 도입: $\Sigma_g$ 위의 자기 플럭스 $\mathfrak{n}$ 과 $T^n$을 따라 풍미 대칭에 대한 복소 도구 $v$.
• 국소 연산자 삽입 포함: 2차원에서는 휘어진 캐럴 연산자, 3차원에서는 윌슨 라인을 통해 분할 함수를 풍부하게 하기.
• 보편 공식 유도: $Z = \sum_{u=u_{(\alpha)}} Z_{\text{cl,1l}} \cdot \left( \det \frac{\partial B_a}{\partial u_b} \right)^{g-1}$, 여기서 $B_a$ 는 효과적 작용에서 유도됨.
• 베테 앙사츠 방정식 $e^{iB_a} = 1$ 를 풀어 안정점 집합 $u_{(\alpha)}$ 를 결정하고, 바르드모인 행렬식이 0이 되지 않도록 보장하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 종수 $g=0$ 에서부터 임의의 종수 $g$ 리만 곡면으로 초대칭 분할 함수를 일반화할 수 있는가?
• RQ2 $\Sigma_g \times T^n$ 위에서 2차원, 3차원, 4차원 $\mathcal{N}$-초대칭 게이지 이론의 초대칭 분할 함수에 대한 보편적 구조는 무엇인가?
• RQ3 풍미 플럭스와 도구가 분할 함수와 그 모듈라 성질에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 $\Sigma_g \times S^1$ 위에서의 분할 함수가 AdS$_4$ 내 BPS 블랙홀의 베크레스타인-호킹 엔트로피를 재현할 수 있는가?
• RQ5 왜곡된 캐럴 연산자와 윌슨 라인의 삽입이 국소화 프레임워크에 어떻게 일관되게 포함될 수 있는가?

주요 결과

• $\Sigma_g \times T^n$ 위에서의 분할 함수는 베테 앙사츠 방정식의 해 집합 위에 가중치로 결정 인자 제곱 $g-1$ 을 가진 합으로 주어진다.
• $g=1$ 일 때, 공식은 위튼 지수를 계산하며, 이는 연속적인 변형에 대해 불변임을 확인한다.
• ABJM 이론의 큰 $N$ 분할 함수는 $\Sigma_g \times S^1$ 위에서 BPS 블랙홀의 베크레스타인-호킹 엔트로피를 재현한다. 여기서는 $\Sigma_g$ 가 수축 표면을 형성한다.
• 이 형식은 3차원 및 4차원 $\mathcal{N}$-이론에서 비중력 이중성의 새로운 정확한 테스트를 제공한다.
• 2차원에서의 왜곡된 캐럴 연산자와 3차원에서의 윌슨 라인 포함은 국소화 프레임워크의 적용 범위를 확장한다.
• 유도 과정은 제피리-키르완 잔여치 방법을 종수 $g$ 보다 높은 리만 곡면으로 일반화하여 경로 적분의 추가 0-모드를 고려한다.