[논문 리뷰] Supersymmetry and Localization on Three-Dimensional Orbifolds

Matteo Inglese, Dario Martelli외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 12. 28.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 스핀들 $\mathbb{\Sigma} \times S^1$, 분지 및 압축된 렌즈 공간, 가속하는 블랙홀의 등각적 경계를 포함한 3차원 오비폴드 배경에서 3D ${\mathcal{N}}=2$ 초대칭 양이론의 정확한 분할 함수를 계산한다. 국소화를 통해, 오비폴드 특이점 제거한 극한에서 유효한, 정밀 초등온위 및 위상적으로 틀어진 분할 함수를 일반화하는 통합된 '스핀들 인덱스'를 유도한다.

ABSTRACT

We consider three-dimensional ${\mathcal N}=2$ supersymmetric field theories defined on general complex-valued backgrounds of Euclidean new minimal supergravity admitting two Killing spinors of opposite $R$-charges. We compute partition functions for theories defined on general circle bundles over spindles $Σ$, including $Σ imes S^1$ as well as branched and squashed lens spaces, thus obtaining novel observables characterizing three-dimensional supersymmetric gauge theories. We discuss both twisted and anti-twisted theories compactified on $Σ imes S^1$ and demonstrate that their partition functions are encoded by a single formula that we refer to as the spindle index, unifying and generalizing superconformal and topologically twisted indices in the limit where orbifold singularities are absent. Furthermore, we test our new index using non-perturbative dualities and obtain one-loop determinants of two-dimensional supersymmetric gauge theories compactified on the spindle.

연구 동기 및 목표

• 3D ${\mathcal{N}}=2$ 초대칭 게이지 이론의 정확한 분할 함수를 오비폴드 특이점이 있는 컴팩트하고 복소수 배경에서 계산하기.
• 스핀들 $\mathbb{\Sigma} \times S^1$에 테이프와 반-테이프가 포함된 초대칭 배경을 식별하고 분석하기.
• 정밀 초등온위 인덱스와 위상적으로 틀어진 인덱스 사이를 연결하는 통합 인덱스—'스핀들 인덱스'—를 도출하여 매끄러운 극한에서 유도하기.
• 비추상적 이중성에 의한 테스트를 통해 새로운 인덱스를 정밀하게 검증하고, 헬로그래픽 및 양이론적 이중성에 대한 검증을 제공하기.

제안 방법

• 국소화를 $\mathbb{\Sigma} \times S^1$ 배경에 적용하여, 테이프와 반-테이프를 모두 포함하고, 경로 적분을 BPS 구성에 대한 유한 차원 적분으로 축소한다.
• 편재성 오비폴드 지표 정리에 기반해, 특이 공간에서의 짝이 없는 고유값을 고려하여, 편재성 다중체의 1-loop 결정을 계산한다.
• 행동과 효과적 항을 분리하고, 국소화 궤적을 단순화하기 위해 캐논성 변환을 통해 효과적 행동을 유도한다.
• 분할 함수를 특수 함수, 다중 제타 및 감마 함수를 포함하여 기술하여 오비폴드 구조와 플럭스를 다룬다.
• 스핀들 인덱스는 $S^1$ 반지름을 무한대로 갈 때 유도되며, 매끄러운 극한에서 알려진 인덱스를 복원한다.
• 압축된 3차원 구의 $SL(2,\mathbb{Z})$ 감소를 통해 분지 및 압축된 렌즈 공간으로의 확장을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 개의 칼링 스피너를 가진 일반적인 오비폴드 배경에서 3D ${\mathcal{N}}=2$ 초대칭 양이론의 분할 함수는 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 $\mathbb{\Sigma} \times S^1$ 배경에서 테이프와 반-테이프가 모두 존재할 경우 초대칭 배경의 구조는 어떻게 되며, 국소화 궤적에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 매끄러운 다양체 극한에서 정밀 초등온위 인덱스와 위상적으로 틀어진 인덱스를 통합하는 단일 인덱스를 만들 수 있는가?
• RQ4 비추상적 이중성은 오비폴드 기하학에서 제안된 분할 함수를 어떻게 제약하고 테스트하는가?
• RQ5 오비폴드 특이점은 헬로그래픽 이중성과 블랙홀 미세상태 수 계산의 맥락에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 테이프와 반-테이프가 포함된 $\mathbb{\Sigma} \times S^1$ 배경에서 국소화를 통해 정확한 분할 함수를 계산하여 통합된 표현인 '스핀들 인덱스'를 도출하였다.
• 오비폴드 특이점이 제거되고 기하학이 매끄러워지는 극한에서 스파인들 인덱스는 정밀 초등온위 인덱스로 감소한다.
• 압축된 3차원 구의 $SL(2,\mathbb{Z})$ 감소를 통해 분지 및 압축된 렌즈 공간의 분할 함수를 유도하여 방법의 적용 범위를 확장하였다.
• 편재성 오비폴드 지표 정리에 기반해, 특이 공간에서의 짝이 없는 고유값을 정확히 고려한 편재성 다중체의 1-loop 결정을 계산하였다.
• 캐논성 변환을 통해 효과적 고전 행동을 유도하여 국소화 계산을 단순화하고, 매끄러운 극한에서 알려진 결과와의 일致를 보장하였다.
• 비추상적 이중성, 특히 효과적 $U(1)$ 초전도체 이론을 포함한 이중성에 의해 결과를 테스트하여 새로운 인덱스의 일致성을 확인하였다.