[논문 리뷰] Supertropical Monoids: Basics, Canonical Factorization, and Lifting Ghosts to Tangibles

Zur Izhakian, Manfred Knebusch외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 09.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 초초반 반체의 일반화인 초초반 모노이드를 도입하여 전송의 범주 STROPₘ를 수립하고, TE-관계에 대한 몫이 이 범주에서 항상 존재함을 증명한다. 주요 기여는 임의의 초초반 모노이드로부터 초초반 반체를 정규화된 방법으로 구성함으로써 초초기수 이론의 열린 문제를 해결할 수 있도록 하는 것이다. 특히, 거의 탄성적 옮김 구성법을 통해 그로스터를 탄성적 원소로 옮기는 데 성공한다.

ABSTRACT

Supertropical monoids are a structure slightly more general than the supertropical semirings, which have been introduced and used by the first and the third authors for refinements of tropical geometry and matrix theory in [IR1]-[IR3], and then studied by us in a systematic way in [IKR1]-[IKR3] in connection with "supervaluations". In the present paper we establish a category $\STROP_m$ of supertropical monoids by choosing as morphisms the "transmissions", defined in the same way as done in [IKR1] for supertropical semirings. The previously investigated category $STROP$ of supertropical semirings is a full subcategory of $STROP_m.$ Moreover, there is associated to every supertropical monoid $V$ a supertropical semiring $\hat V$ in a canonical way. A central problem in [IKR1]-[IKR3] has been to find for a supertropical semiring $U$ the quotient $U/E$ by a "TE-relation", which is a certain kind of equivalence relation on the set $U$ compatible with multiplication (cf. [IK1, Definition 4.5]). It turns out that this quotient always exists in $\STROP_m$. In the good case, that $U/E$ is a supertropical semiring, this is also the right quotient in $\STROP.$ Otherwise, analyzing $(U/E)^\wedge,$ we obtain a mild modification of $E$ to a TE-relation $E'$ such that $U/E' = (U/E)^\wedge$ in $\STROP.$ In this way we now can solve various problems left open in [IKR1], [IKR2] and gain further insight into the structure of transmissions and supervaluations. Via supertropical monoids we also obtain new results on totally ordered supervaluations and monotone transmissions studied in [IKR3].

연구 동기 및 목표

• 초초반 반체를 초초반 모노이드로 일반화하고, 범주 STROP를 STROPₘ로 확장한다.
• 특히 TE-관계에 대한 몫의 존재성과 구조와 관련된 초초기수 이론의 열린 문제를 해결한다.
• 임의의 초초반 모노이드로부터 초초반 반체를 정규화된 방법으로 구성함으로써, 그로스터를 탄성적 원소로 옮기는 데 기여한다.
• 주어진 초초기수를 지배하는 최소의 초초기수로서 거의 탄성적 옮김의 특성을 규명한다.
• 순서가 붙은 초초반 모노이드와 m-초초기수를 위한 프레임워크를 수립하여 토픽 기하학과 초기수 이론을 풍부히 한다.

제안 방법

• 초초반 모노이드를 정의한다. 이는 U → U인 그로스터 지ap ν: U → U를 갖는 구조로, 이는 등幂적이고 a + a = ν(a)를 만족한다. 이는 초초반 반체를 일반화한다.
• 전송을 STROPₘ의 사상으로 도입한다. 이는 그로스터 지도와 곱셈 구조를 유지하며, STROP 범주를 확장한다.
• 임의의 초초반 모노이드 Y로부터 관련 초초반 반체 Ŷ를 정규화된 몫 과정을 통해 구성한다.
• TE-관계의 개념을 사용하여 STROPₘ에서 몫을 정의한다. 이는 항상 존재하며, 몫이 양호한 경우 초초반 반체를 얻는다.
• 초초기수 φ의 거의 탄성적 옮김 φ̌를 (φ̃)̂로 정의한다. 여기서 φ̃는 탄성적 옮김의 정규화된 몫이다. 이를 통해 φ̌가 초초기수임을 보장한다.
• 거의 탄성적 옮김 φ̌가 φ를 지배하는 최소의 초초기수임을 증명한다. 이는 그로스터를 탄성적 원소로 옮기는 문제를 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초초반 반체에서 정의된 모든 TE-관계에 대해, 이러한 몫이 보장되는 범주에서 존재하는가?
• RQ2 초초반 반체 U에서 TE-관계 E에 대한 몫 U/E가 스스로 초초반 반체가 아니면, 이 몫이 초초반 반체로 옮겨질 수 있는가?
• RQ3 초초기수의 그로스터 원소를 정교한 초초기수로 체계적으로 탄성적 원소로 옮기는 방법은 무엇인가?
• RQ4 주어진 초초기수를 지배하는 최소의 초초기수는 무엇이며, 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ5 거의 탄성적 옮김이 원래 초초기수와 일치하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 TE-관계에 대한 몫 U/E는 초초반 모노이드의 범주 STROPₘ에서 존재한다.
• U/E가 초초반 반체가 아니면, (U/E)̂는 초초반 반체이며, 수정된 TE-관계 E′에 대해 U/E′ = (U/E)̂가 성립한다. 이는 [IKR1]–[IKR3]에서 오랫동안 남아있던 문제를 해결한다.
• 초초기수 φ의 거의 탄성적 옮김 φ̌는 초초기수이며, φ를 지배하는 최소의 초초기수이다.
• 거의 탄성적 옮김 φ̌는 G(φ̌) = v(𝔮′)를 만족한다. 여기서 𝔮′은 값매김 v에 의해 비가역 원소들의 집합의 원상이다.
• v가 값매김일 때(즉, M이 가역적일 때), 거의 탄성적 옮김 φ̌는 탄성적 옮김 φ̃와 일치한다.
• 임의의 전사 탄성적 m-초초기수 φ: R → U에 대해, φ(R∖𝔮′)는 탄성적 원소들의 집합 T(U)와 일치하며, φ(Y(v)) = S(U)이다. 여기서 S(U)는 U 내의 탄성적 비가역 곱들의 집합이다.