[논문 리뷰] Supplementary difference sets with symmetry for Hadamard matrices

Dragomir Ž. Djoković|arXiv (Cornell University)|2009. 03. 29.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한 아벨 군 내에서 대칭 또는 비대칭 성질을 가진 새로운 보조 차집합(SDS)을 제시하여, 고테일스-세일드 배열을 통해 이전에 알려지지 않은 비대칭 하다르드 행렬의 순서 188, 244, 508을 구성한다. 순서 25, 27, 49인 초등 아벨 군 위에서 다섯 개의 새로운 다중순환 윌리엄슨 행렬을 도입하고, 새로운 $(127,57,76)$ 차집합 가족을 구성하여 비대칭 하다르드 행렬의 순서 508과 동일한 매개변수를 가진 균형 불완전 블록 설계(BIBD)를 도출한다.

ABSTRACT

First we give an overview of the known supplementary difference sets (SDS) (A_i), i=1..4, with parameters (n;k_i;d), where k_i=|A_i| and each A_i is either symmetric or skew and k_1 + ... + k_4 = n + d. Five new Williamson matrices over the elementary abelian groups of order 25, 27 and 49 are constructed. New examples of skew Hadamard matrices of order 4n for n=47,61,127 are presented. The last of these is obtained from a (127,57,76)-difference family that we have constructed. An old non-published example of G-matrices of order 37 is also included.

연구 동기 및 목표

• 기존 순환 윌리엄슨 행렬을 초월하여 보조 차집합(SDS)의 대칭 유형(ksss), (kkss), (kkks)을 탐색함으로써 비대칭 하다르드 행렬의 구성 범위를 확장한다.
• 초등 아벨 군 $F_{49}$ 위에서 순서 49의 새로운 다중순환 윌리엄슨 행렬을 구성하여 윌슨의 구성과 비동치인 예제를 제공한다.
• 새로운 $(127,57,76)$ 차집합 가족을 생성하여 비대칭 하다르드 행렬의 순서 508과 동일한 매개변수를 가진 균형 불완전 블록 설계(BIBD)를 도출한다.
• 오래된 비공개 예제인 순서 37의 $G$-행렬을 복원하고, 비대칭 유형 하다르드 행렬의 알려진 목록에 기여한다.

제안 방법

• 고테일스-세일드 배열을 사용하여, 유한 아벨 군 $\mathcal{A}$의 순서 $n$에서 유도된 $n\times n$ 이진 행렬의 4중조를 기반으로 하다르드 행렬의 순서 $4n$을 구성한다.
• 보조 차집합 $(A_1, A_2, A_3, A_4)$는 매개변수 $(n; k_1,k_2,k_3,k_4; \lambda)$를 가지며, $\lambda = \sum k_i - n$을 만족하여 결과 행렬이 하다르드 행렬이 되도록 보장한다.
• 각 $A_i$는 대칭($A_i = -A_i$) 또는 비대칭($\mathcal{A} = A_i \cup -A_i \cup \{0\}$)이어야 하며, 대칭 유형(예: (ksss))은 SDS를 분류하는 데 사용된다.
• 이진 행렬 $A_i^c$는 $A_i$의 특성 함수로부터 구성되며, 이들의 성질이 고테일스-세일드 배열이 하다르드 행렬을 생성하도록 보장한다.
• 소수 $n=127$의 경우, $\mathbb{Z}_{127}^*$ 내의 부분군 $H=\{1,2,4,8,16,32,64\}$의 코셋을 사용하며, 색인 집합이 세 개의 대칭 블록을 정의한다.
• 고전적인 펠레이 비대칭 차집합과 새로운 $(127,57,76)$ 차집합 가족을 조합하여 (ks**) 유형의 새로운 SDS를 도출하고, 이는 비대칭 하다르드 행렬의 순서 508을 생성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭 유형(ksss), (kkss), 또는 (kkks)을 가진 새로운 보조 차집합(SDS)을 구성하여 이전에 알려지지 않은 비대칭 하다르드 행렬을 도출할 수 있는가?
• RQ2 순서 $5^2$, $3^3$, $7^2$인 초등 아벨 군에서 순환적이지 않고 서로 동치가 아닌 (ssss) 유형의 SDS가 존재하는가? 이는 다중순환 윌리엄슨 행렬을 유도할 수 있는가?
• RQ3 비대칭 하다르드 행렬의 순서 508을 생성할 수 있는 $(127,57,76)$ 차집합 가족을 구성할 수 있는가?
• RQ4 $\mathbb{Z}_{127}^*$ 내의 코셋 구조는 높은 대칭성과 최적 매개변수를 가진 대칭 SDS의 구성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 SDS의 대칭 유형은 관련 비대칭 하다르드 행렬의 구조와 존재성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 다섯 개의 새로운 다중순환 윌리엄슨 행렬이 구성되었으며, 순서 25에 두 개, 순서 27에 두 개, 순서 49에 한 개로, 모두 초등 아벨 군 위에서 구성되었다.
• 순서 188의 새로운 비대칭 하다르드 행렬은 매개변수 $(47;23,21,19,19;35)$와 유형 (ks**)을 가진 SDS로부터 구성되었으며, 첫 번째 블록은 $\mathbb{Z}_{47}$ 내의 제곱수에 대한 고전적인 비대칭 차집합이다.
• 순서 244의 새로운 비대칭 하다르드 행렬은 매개변수 $(61;30,28,27,24;48)$와 유형 (k**s)을 가진 순환 SDS로부터 구성되었으며, $n=61$일 때 이러한 행렬의 존재를 확인한다.
• 순서 508의 새로운 비대칭 하다르드 행렬은 $(127,57,76)$ 차집합 가족으로부터 도출되었으며, 동일한 매개변수를 가진 균형 불완전 블록 설계(BIBD)도 함께 생성된다.
• 순서 $n=127$의 새로운 SDS는 $\mathbb{Z}_{127}^*$ 내의 부분군 $H=\{1,2,4,8,16,32,64\}$의 코셋을 사용하며, 색인 집합 $J_1, J_2, J_3$가 세 개의 대칭 블록을 정의한다. 이는 이전의 구성과 동치가 아니다.
• 오래된 비공개 예제인 순서 37의 $G$-행렬이 복원되었으며, 비대칭 유형 하다르드 행렬의 알려진 목록에 기여한다.