[논문 리뷰] Supplying bells and whistles in symmetric monoidal categories

Brendan Fong, David I. Spivak|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 07.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 프롭(Prop)을 통해 대수적 구조(예: 코모노이드 또는 바이모노이드)가 대칭 모노이드 범주에 '공급된다'는 개념을 형식화한다. 이는 단순히 단위와 모노이드 곱과의 호환성을 정의함으로써 이루어지며, 모든 공급에 대해 연관자, 단위자, 브라딩이 자동으로 준동형사상임을 증명한다. 또한 공급이 스트릭처라이제이션으로 자연스럽게 확장됨을 보이며, Rel과 같은 범주에서 구조화된 스트링 다이어그램의 기초 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

It is common to encounter symmetric monoidal categories $\mathcal{C}$ for which every object is equipped with an algebraic structure, in a way that is compatible with the monoidal product and unit in $\mathcal{C}$. We define this formally and say that $\mathcal{C}$ supplies the algebraic structure. For example, the category $\mathsf{Rel}$ of relations between sets has monoidal structures given by both cartesian product and disjoint union, and with respect to either one it supplies comonoids. We prove several facts about the notion of supply, e.g. that the associators, unitors, and braiding of $\mathcal{C}$ are automatically homomorphisms for any supply, as are the coherence isomorphisms for any strong symmetric monoidal functor that preserve supplies. We also show that any supply of structure in a symmetric monoidal category can be extended to a supply of that structure on its strictification.

연구 동기 및 목표

• 대칭 모노이드 범주가 프롭으로 표현된 대수적 구조를 공급할 때를 형식적으로 정의하는 것.
• 강한 모노이드 함자들이 이러한 공급을 유지할 조건을 설정하는 것.
• 범주 내의 공급이 그 스트릭처라이제이션으로 확장될 수 있음을 보여주는 것.
• 네트워크 이론, 확률론, 미분학에서 사용된 범주론적 프레임워크를 통합하고 일반화하는 것.
• 스트링 다이어그램 계산법에 '벨과 유후'—추가적인 대수적 구조—를 체계적으로 추가할 수 있는 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 대칭 모노이드 범주에서 프롭의 구조에 대한 '공급' 개념을 도입하며, 각 객체에 대해 호환 가능한 사상이 필요하다고 정의한다.
• '준동형 공급'을 정의하고, 이것이 카르테시안 모노이드 범주와 비프로덕트를 특징짓는다고 보여준다.
• 스트링 다이어그램과 교환 다이어그램을 사용하여 모노이드 구조와 대수적 연산 간의 일관성 조건을 표현한다.
• 모든 공급에 대해 일관성 이so(연관자, 단위자, 브라딩)가 자동으로 준동형사상임을 증명한다.
• 공급을 유지하는 강한 모노이드 함자가, 해당 구조에 대한 준동형사상의 부분범주 간에 잘 정의된 함자를 유도함을 확립한다.
• 범주 내의 임의의 공급이 그 범주의 스트릭처라이제이션으로의 공급을 유도하며, 스트릭처라이제이션 동치관계가 공급을 유지함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 경우에 대칭 모노이드 범주가 모든 객체에 대해 모노이드 호환 방식으로 코모노이드 또는 바이모노이드 구조를 자연스럽게 지니는가?
• RQ2 어떻게 대수적 구조(프롭을 통해 표현)가 범주 내의 모노이드 곱과 단위와 호환되는지를 형식적으로 정의할 수 있는가?
• RQ3 강한 모노이드 함자가 이러한 공급된 구조를 유지할 조건은 무엇인가?
• RQ4 일관성 이so(연관자, 단위자, 브라딩)는 공급된 구조와 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 범주 내의 공급은 그 스트릭처라이제이션으로 올릴 수 있는가? 만약 가능하다면, 그 과정에서 어떻게 유지되는가?

주요 결과

• 어떤 대칭 모노이드 범주가 프롭의 구조를 공급할 경우, 그 연관자, 단위자, 브라딩은 자동으로 그 구조에 대한 준동형사상이 된다.
• 공급을 유지하는 강한 모노이드 함자는, 해당 구조에 대한 준동형사상의 부분범주 간에 잘 정의된 함자를 유도한다.
• 대칭 모노이드 범주 내의 프롭 공급은 그 스트릭처라이제이션 내에서도 동일한 구조의 공급을 유도하며, 스트릭처라이제이션 동치관계는 공급을 유지한다.
• 일관성 매핑(예: 단위자 및 연관자)은 공급을 유지하는 함자에 의해 준동형사상으로 보낸다. 이는 구조적 일관성을 보장한다.
• 범주가 코모노이드를 함자적으로 공급하는 조건은 카르테시안 모노이드 범주임과 동치이며, 바이모노이드를 공급하는 것은 곱이 비프로덕트임을 의미한다.
• 공급을 유지하는 함자에서의 강한 자동형사상(Strongator)의 자연동치는 공급 사상에 관여하는 핵심 다이어그램의 교환성과 동치이다.