[논문 리뷰] Support of Borelian Measures in Separable Banach Spaces

E. Ostrovsky|ArXiv.org|2008. 08. 24.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 2인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 분리 가능 바나흐 공간(SBS) 상의 모든 보렐 확률측도가 컴act하게 통합된 SBS 부분공간에 포함된 지지집합을 가짐을 증명한다. 랜덤 변수의 노름이 지수 오르리치 공간에 속할 경우, 이 논문은 노름이 엄밀히 더 약한 오르리치 공간에 속하는 컴팩트하게 통합된 부분공간이 존재함을 증명하며, 표준적인 Δ₂ 조건을 초월한 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We prove in this article that every Borelian measure, for example, the distribution of a random variable, in separable Banach space has a support which is compact embedded Banach subspace; and prove that if the norm of the random variable belongs to some exponential Orlicz space, then the new subspace can be choose such that the norm of this variable in the new space also belongs to other exponential Orlicz space.

연구 동기 및 목표

• 분리 가능 바나흐 공간 상의 보렐 측도에 대한 지지정리가 오르리치 노름의 표준적인 Δ₂ 조건을 초월하여 어떻게 일반화되는가를 연구하는 것.
• 랜덤 변수의 노름이 함수 Φ로 정의된 오르리치 공간에 속할 경우, 그 분포가 노름이 함수 Ψ로 정의된 더 약한 오르리치 공간에 속하는 컴팩트하게 통합된 부분공간에 지지됨을 증명하는 것.
• 유계가 아니고 σ-유한한 연속 측도 및 지배성과 약수렴 조건 하의 측도 가족으로 결과를 일반화하는 것.
• 가족 측도가 모멘트 조건을 만족할 경우, 더 약한 오르리치 공간에서의 균일 적분 가능성 여부를 조사하는 것.
• 더 약한 모멘트 조건 하에서 분리 가능 랜덤 필드의 상한의 오르리치 노름 적분 가능성에 대한 개방된 추측을 수립하고 탐구하는 것.

제안 방법

• 일반적인 SBS를 연속 함수의 보편 공간 C[0,1]로 감소시킨다.
• 랜덤 과정 ξ의 표본 경로 정규성은 모듈러스 연속성 ω(ξ, δ)로 특징지운다.
• 오르리치 공간에서의 모멘트 수렴을 적용한다: EΦ(|ξ|∞) ≤ 1 이면, δ → 0+ 일 때 EΦ(ω(ξ, δ)) → 0 이다.
• 모든 n에 대해 supₙ 2ⁿ ω(g, δ(n)) < ∞ 를 만족하는 함수들의 부분공간 Z ⊂ C[0,1]을 구성하며, 노름은 |g|∞,ω = |g|∞ + supₙ 2ⁿ ω(g, δ(n)) 으로 정의한다.
• Z가 분리 가능 바나흐 공간임을 증명하고, 아르체라-아스coli 정리에 의해 C[0,1]에 컴팩트하게 통합됨을 보인다.
• 오르리치 노름의 유한성 증명: |||ξ|∞,ω||Or(Ψ) < ∞ 이며, 이는 |||ξ|∞||Or(Φ) 와 ∑ₙ 2ⁿ ||ω(ξ, δ(n))||Or(Ψ) ≤ 1 을 이용해 유계화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오르리치 함수 Φ가 Δ₂ 조건을 만족하지 않을 경우, 분리 가능 바나흐 공간 상의 보렐 측도의 지지집합이 컴팩트하게 통합된 부분공간에 포함될 수 있는가?
• RQ2 랜덤 변수의 노름이 오르리치 공간 Or(Φ)에 속할 경우, 노름이 더 약한 오르리치 공간 Or(Ψ)에 속하는 컴팩트하게 통합된 부분공간이 존재하는가, 여기서 Ψ << Φ 이다?
• RQ3 결과는 무한대일 수 있는 σ-유한한 연속 측도로 확장될 수 있으며, 지배되는 가족의 모든 측도가 공통된 컴팩트하게 통합된 부분공간에 지지될 수 있는가?
• RQ4 분리 가능 바나흐 공간 상의 약수렴하는 측도 수열이 공통된 컴팩트하게 통합된 부분공간에 지지될 수 있으며, 그 부분공간에서 수렴이 성립하는가?
• RQ5 유한한 오르리치 노름을 가진 분리 가능 랜덤 필드의 상한이 더 약한 함수 Ψ << Φ 에 대해 오르리치 공간 Or(Ψ)에 속하는가?

주요 결과

• 모든 보렐 측도가 분리 가능 바나흐 공간 상에서 컴팩트하게 통합된 분리 가능 바나흐 부분공간에 지지된다는 것을 증명한다.
• 만약 노름 |ξ|X 가 오르리치 공간 Or(Φ)에 속한다면, 임의의 더 약한 오르리치 함수 Ψ에 대해 노름 |ξ|Y 가 오르리치 공간 Or(Ψ)에 속하는 컴팩트하게 통합된 부분공간 Y 가 존재한다.
• 수렴 보장을 위해 ||ω(ξ, δ(n))||Or(Ψ) ≤ 4⁻ⁿ 를 만족하는 δ(n) → 0 인 수열을 사용한다.
• 결과로 얻어진 부분공간 Z 는 노름 |g|∞,ω = |g|∞ + supₙ 2ⁿ ω(g, δ(n)) 에서 분리 가능 바나흐 공간이며, 아르체라-아스coli 정리에 의해 C[0,1]에 컴팩트하게 통합된다.
• 무한대일 수 있는 σ-유한 측도의 경우, 동일한 결과가 지배성 조건 하에서 성립하며, 동일한 부분공간 구성으로 |||ξ|Y||Or(Ψ) < ∞ 가 보장된다.
• 지배성 또는 약수렴 조건 하의 가산 측도 가족으로 결과가 일반화되며, 공통된 컴팩트하게 통합된 지지 부분공간이 존재한다.