[논문 리뷰] Support theorems for the Radon transform and Cramér-Wold theorems

Jan Boman, Filip Lindskog|ArXiv.org|2008. 02. 29.

Bayesian Methods and Mixture Models참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 분포 이론에서 라돈 변환의 단사성 정리들을 활용하여, 원점 근처에서 무한 질량을 가진 측도에 대해 크래머-월드 정리를 확장한다. 유계가 아닌 볼록집합의 외부 또는 볼록 코너에 지지된 측도와 측도 수열에 대한 새로운 유일성 및 수렴 결과를 확립하며, 반례를 통해 가정의 날카로움을 증명한다.

ABSTRACT

This article presents extensions of the Cram{é}r-Wold theorem to measures that may have infinite mass near the origin. Corresponding results for sequences of measures are presented together with examples showing that the assumptions imposed are sharp. The extensions build on a number of results and methods concerned with injectivity properties of the Radon transform. Using a few tools from distribution theory and Fourier analysis we show that the presented injectivity results for the Radon transform lead to Cram{é}r-Wold type results for measures. One purpose of this article is to contribute to making known to probabilists interesting results for the Radon transform that have been developed essentially during the 1980ies and 1990ies.

연구 동기 및 목표

• 측도가 원점 근처에서 무한 질량을 가질 경우 크래머-월드 정리에서의 유일성 부재 문제를 다스리며, 특히 극값 이론과 극한 정리에서의 응용을 고려한다.
• 확률 측도가 아닐 수 있는 부호 있는 측도 및 비음성 측도에 대해 고전적인 크래머-월드 결과를 확장한다.
• 특히 볼록집합의 외부 또는 볼록 코너에서 원점을 포함하지 않는 모든 닫힌 반공간에서의 측도 값에 의해 측도가 어떻게 유일하게 결정되는지 조건을 제공한다.
• 반공간 분포 함수에 기반한 이러한 측도 수열의 수렴 기준을 설정한다.
• 동차 분포와 반경 함수를 이용한 반례를 통해 가정의 날카로움을 입증한다.

제안 방법

• 분포 이론과 푸리에 분석을 사용하여 라돈 변환의 정의를 측도와 분포로 확장함으로써, 적분 가능하지 않거나 질량이 무한한 측도의 분석을 가능하게 한다.
• 외부 라돈 변환을 사용하여 유계 볼록집합 K의 외부에 있는 측도를 재구성하며, 동차 또는 코너에 지지된 측도에 대한 단사성 정리(정리 B–D)를 적용한다.
• R^d \ {0}에서 정의된 함수와 측도의 동차 확장을 분포 도함수와 구면 극좌표를 이용해 R^d로 확장한다.
• 시험 함수 공간 위의 연속 선형 함수로 측도를 정의함으로써, 부호 있는 측도 및 질량이 무한한 측도를 분포 이론을 통해 다룰 수 있도록 한다.
• 반복적인 분포 도함수를 통한 동차 분포의 확장을 위한 핵심 항등식 (6.2)를 유도하며, R^d \ {0}에서의 원래 함수와의 일致성과 동차성을 보장한다.
• 라돈 변환의 단사성 성질을 이용하여, 특히 전체 직선을 포함하지 않는 볼록 코너에 지지된 측도의 경우 크래머-월드 유형 정리를 측도와 수열에 대해 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원점이 지지에 포함되어 있을 경우, 특히 원점 근처에서 질량이 무한한 측도에 대해 크래머-월드 정리를 확장할 수 있는가?
• RQ2 어떤 조건에서 원점을 포함하지 않는 모든 닫힌 반공간에서의 측도 값에 의해 측도가 유일하게 결정되는가?
• RQ3 반공간 분포 함수에 기반한 이러한 측도 수열의 약한 수렴을 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ4 동차성, 감쇠성 또는 코너 지지에 대한 가정이 외부 라돈 변환의 단사성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 확장된 크래머-월드 정리의 가정들이 날카로운가? 그리고 그 필요성을 보여주는 반례를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 정리 4와 정리 4′는 전체 직선을 포함하지 않는 닫힌 볼록 코너에 지지된 측도에 대해 크래머-월드 유형의 유일성 및 수렴을 확립하며, 이는 새로운 기여이다.
• 정리 3b와 정리 3′는 동차성이 없더라도 코너 지지 조건 하에서 비음성 측도의 유일성을 보장하며, 이는 이전 결과를 확장한다.
• 섹션 5의 반례는 정리 B–D의 가정이 날카로움을 보여주며, 비정수 차수의 동차 분포를 사용한 구성 포함.
• 모든 비정수 γ < -d에 대해, R^d \ {0}에서 차수 γ의 동차 분포 f는 R^d로의 유일한 동차 확장을 갖는다. 이는 반복적인 분포 도함수를 통해 구성된다.
• ||μ_ε||_M ≤ Cε^{-m}를 만족하는 M_loc(R^d \ {0}) 내의 측도 μ는 R^d 상의 분포로 확장될 수 있으며, 이는 특이하거나 천천히 감쇠하는 측도의 분석을 가능하게 한다.
• Basrak, Davis, 그리고 Mikosch (2002)의 추측, 즉 확률 측도의 스케일링 극한에 관한 것은 정리 4′로부터 유도되는 추론 2를 통해 확인된다.