[논문 리뷰] Supporting Lemmas for RISE-based Control Methods

Rushikesh Kamalapurkar, Rosenfeld, Joel A.외 3명|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 14.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 16인용 수 38

한 줄 요약

이 논문은 비선형 시스템의 외란을 고려할 때 점점 수렴하는 안정성을 보장하는 RISE(에러의 부호 함수의 강건한 적분) 제어 방법의 기초가 되는 보조정리에 대한 엄밀한 수학적 증명을 제공한다. 비연속 분석과 측度 이론을 활용하여 르베그 측도 조건과 핵심 적분 성질의 타당성을 확립한다.

ABSTRACT

A class of continuous controllers termed Robust Integral of the Signum of the Error (RISE) have been published over the last decade as a means to yield asymptotic convergence of the tracking error for classes of nonlinear systems that are subject to exogenous disturbances and/or modeling uncertainties. The development of this class of controllers relies on a property related to the integral of the signum of an error signal. A proof for this property is not available in previous literature. The stability of some RISE controllers is analyzed using differential inclusions. Such results rely on the hypothesis that a set of points is Lebesgue negligible. This paper states and proves two lemmas related to the properties.

연구 동기 및 목표

• RISE 제어기 설계에 사용되는 기본 적분 성질 ∫₀ˣ f′(y)sgn(f(y))dy = |f(x)| − |f(0)| 에 대한 접근 가능한 증명이 부족한 문제를 해결하기 위해.
• f(x) = 0 이고 f′(x) ≠ 0 인 점들의 집합이 르베그 측도로 영이 되는 가정을 검증하기 위해.
• 리아푸노프 기반 안정성 분석에서 엄격히 증가하는 바ounds 함수의 존재에 대한 구축적 증명을 제공하기 위해.
• 이전 연구에서 공식적인 증명 없이 사용된 성질들을 엄밀히 확립하여 RISE 기반 제어의 이론적 기반을 강화하기 위해.

제안 방법

• 기본 정리와 국소 절대 연속성을 사용하여 레미마 1을 증명함으로써, [0,x]에서 f′(y)sgn(f(y))의 적분이 |f(x)| − |f(0)| 와 같음을 보임.
• 수렴하는 단계 함수의 수열에 대한 극한을 정당화하기 위해 코시 수렴 정리( Dominated Convergence Theorem )를 적용함.
• 측도 이론적 추론을 활용하여 연속 미분 가능한 f에 대해 집합 {x | f(x) = 0 ∧ f′(x) ≠ 0} 가 르베그 측도로 무시할 수 있음을 증명함.
• 중간값 정리와 코시-슈바르츠 부등식을 사용하여 norm ‖f(x)−f(xd)‖ 를 바ounds하는 엄격히 증가하는 함수 ρ(‖x−xd‖) 를 구성함.
• 유계 집합 위에서 상한을 정의하여 G₂와 G₃를 구성함. 이는 ρ(‖x−xd‖) = G₃(‖x−xd‖, r) + ‖x−xd‖ 로 정의됨.
• ρ 가 엄격히 증가하고, 모든 x ∈ D 및 xd ∈ Br 에 대해 ‖f(x)−f(xd)‖ ≤ ρ(‖x−xd‖)‖x−xd‖ 를 만족함을 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 국소 절대 연속인 f에 대해 ∫₀ˣ f′(y)sgn(f(y))dy 는 |f(x)| − |f(0)| 와 같을까?
• RQ2 연속 미분 가능한 함수 f에 대해 집합 {x | f(x) = 0 ∧ f′(x) ≠ 0} 가 르베그 측도로 무시할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ3 모든 x ∈ D 및 xₐ ∈ Br 에 대해 ‖f(x)−f(xd)‖ ≤ ρ(‖x−xd‖)‖x−xd‖ 를 만족하는 엄격히 증가하는 함수 ρ 가 존재할 수 있는가?
• RQ4 적분 성질과 측도 조건을 어떻게 공식적으로 증명하여 RISE 제어기 안정성 분석을 뒷받침할 수 있는가?
• RQ5 리아푸노프 분석에서 RISE 제어기의 엄격히 증가하는 바ounds 함수를 생성하는 구축적 방법은 무엇인가?

주요 결과

• 레미마 1이 엄밀히 증명됨: 임의의 국소 절대 연속인 f: ℝ₊ → ℝ 에 대해 ∫₀ˣ f′(y)sgn(f(y))dy = |f(x)| − |f(0)| 이다.
• 모든 연속 미분 가능한 f에 대해 집합 {x | f(x) = 0 ∧ f′(x) ≠ 0} 는 르베그 측도로 영이 되며, 이는 비연속 안정성 분석의 핵심 가정을 검증한다.
• 증명은 f의 영점 집합이 닫혀 있고, f′ 에 의한 원상이 가 countable 이므로, 르베그 측도로 영집합임을 시사한다.
• 모든 x ∈ D 및 xd ∈ Br 에 대해 ‖f(x)−f(xd)‖ ≤ ρ(‖x−xd‖)‖x−xd‖ 를 만족하는 엄격히 증가하는 함수 ρ 를 정의하는 구축적 방법이 제시됨.
• 함수 ρ(‖x−xd‖) 는 G₃(‖x−xd‖, r) + ‖x−xd‖ 로 명시적으로 정의되며, 여기서 G₃ 는 유계 기울기 위에서의 상한이므로 엄격한 단조성 보장됨.
• 결과적으로 RISE 기반 제어의 이론적 간극을 메우며, 이전 문헌에서 공식적인 증명 없이 널리 사용된 성질들에 대한 공식적 정당성을 제공한다.