[논문 리뷰] Supports of irreducible spherical representations of rational Cherednik algebras of finite Coxeter groups

Pavel Etingof|arXiv (Cornell University)|2009. 11. 17.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 8인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 유한 코xeter 군에 대한 유리 Cherednik 대수의 기저가 없는 구형 표현의 지지집합을 모든 매개변수 값 $c$에 대해 Macdonald-Mehta 적분과 분포 이론을 사용하여 결정한다. 이는 Varagnolo와 Vasserot의 결과를 등가 매개변수를 가진 Weyl 군으로 일반화하며, 이러한 표현이 유한 차원이 되는 조건을 분류한다.

ABSTRACT

We determine the support of the irreducible spherical representation (i.e., the irreducible quotient of the polynomial representation) of the rational Cherednik algebra of a finite Coxeter group for any value of the parameter c. In particular, we determine for which values of c this representation is finite dimensional. This generalizes a result of Varagnolo and Vasserot, arXiv:0705.2691, who classified finite dimensional spherical representations in the case of Weyl groups and equal parameters (i.e., when c is a constant function). As an application, we compute the zero set of the kernel of the Macdonald pairing in the trigonometric case (for equal parameters). Our proof is based on the Macdonald-Mehta integral and the elementary theory of distributions.

연구 동기 및 목표

• 모든 매개변수 값 $c$에 대해 유한 코xeter 군에 대한 유리 Cherednik 대수의 기저가 없는 구형 표현의 지지집합을 결정하는 것.
• 구형 표현이 유한 차원이 되는 $c$의 값들을 분류하여 이전 결과를 확장하는 것.
• Weyl 군의 등가 매개변수 케이스에서 Varagnolo와 Vasserot의 유한 차원 구형 표현 분류를 일반화하는 것.
• 등가 매개변수 하에서 삼각 함수 설정에서 재정규화된 Macdonald 쌍대성의 핵의 영점 집합을 계산하는 것.
• 유한 반사군 이론을 통해 유일한 증명을 제공하여, 유한 차원 구형 표현의 분류가 Varagnolo와 Vasserot의 결과와 일치함을 보이는 것.

제안 방법

• Macdonald-Mehta 적분을 사용하여 복소화된 카르탕 부분대수 위에 분포 $\xi_c^R$를 정의한다.
• 분포 이론을 적용하여 기저가 없는 구형 표현 $L_c$의 지지집합을 분석한다.
• 다항식 표현 $M_c$ 위의 반대칭 이항형식 $\beta_c$에 의존하며, 그 핵이 최대 부분모듈 $J_c$를 이룬다.
• 반사 군이 두 개의 반사 동치류를 가진 경우를 위해 Poincaré 다항식 $P_W(q)$와 그 이변수 형태 $P_W(q_1,q_2)$를 사용한다.
• 관계 $ (P,Q)_c = \langle \xi_c^R, PQ \rangle $를 통해 Macdonald 쌍대성과 분포 $\xi_c^R$를 연결한다.
• 부록에서 반사군 이론의 결과, 특히 정규 및 타원형 원소, 코드그리드 등을 활용하여 통일된 분류를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개변수 $c$의 어떤 값에서 유리 Cherednik 대수의 기저가 없는 구형 표현이 유한 차원이 되는가?
• RQ2 유한 코xeter 군과 임의의 $c$에 대해 기저가 없는 구형 표현 $L_c$의 지지집합은 무엇인가?
• RQ3 $L_c$의 지지집합이 $q = e^{2\pi i c}$에서 $P_W/P_{W_a}$의 값이 0이 되는 것과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 매개변수 $c$에 의한 유한 차원 구형 표현의 분류가 Weyl 군의 경우 Varagnolo와 Vasserot의 결과와 일치하는가?
• RQ5 등가 매개변수 하에서 삼각 함수 설정에서 재정규화된 Macdonald 쌍대성의 핵의 영점 집합은 무엇인가?

주요 결과

• 기저가 없는 구형 표현 $L_c$의 지지집합은 $W_a$가 $a$의 안정화군일 때 $q = e^{2\pi i c}$에서 $P_W/P_{W_a}$가 0이 아닐 조건에 의해 결정된다.
• $W = I_2(2m)$, $B_n$, 또는 $F_4$인 경우, 2변수 Poincaré 다항식을 사용하여 $L_c$의 지지집합을 명시적으로 계산한다.
• $W = B_2$ 이고 $c = 1/2$인 경우, 지지집합은 두 점 $(1,1)$과 $(-1,-1)$으로 구성되며, $L_c$는 1차원과 4차원 기저가 없는 표현으로 분해된다.
• 표현 $L_c$가 유한 차원임은 $c$가 유리수이면서, 모든 $a \in \mathfrak{h}_\mathbb{R}$에 대해 $e^{2\pi i c}$에서 $P_W/P_{W_a}$가 0이 아닐 조건과 동치이다.
• 등가 매개변수 하에서 유한 차원 구형 표현의 분류는 Varagnolo와 Vasserot의 결과와 일치하며, 부록에서 반사군 이론을 활용한 통일된 증명으로 이를 보였다.
• 삼각 함수 설정에서 재정규화된 Macdonald 쌍대성의 핵의 영점 집합은 $\xi_c^R$의 지지집합과 일치하며, 이는 $L_c$의 지지집합과도 일치한다.